ожидание случайной величины x 2 находим по первой
формуле (8.7)
n
m [ x 2 ] = ∑ xi2 pi = (−5) 2 ⋅ 0,4 + 2 2 ⋅ 0,3 + 32 ⋅ 0,1 + 4 2 ⋅ 0,2 = 15,3.
i =1
теперь находим дисперсию по формуле (8.6)
d[ x ] = m [ x 2 ] − (m x ) 2 = 15,3 − (−0,3) 2 = 15,21.
находим среднее квадратическое отклонение
σ [ x ] = d[ x ] = 15,21 = 3,9.
ответ: m x = −0,3; d x = 15,3; σ x = 3,9.
пример 7. случайная величина х задана функцией рас-
пределения
0, x ≤ 0,
f ( x) = 1 − 0,5 cos x, 0 < x < π ,
1, x ≥ π.
найти ожидание, дисперсию, среднее квадратическое от-
клонение.
решение. сначала найдем плотность распределения f (x) по формуле
f ( x) = f ' ( x).
0,5 sin x, x ∈ (0; π ),
f ( x) =
0, x ∉ (0; π ).
ожидание находим по формуле (8.5)
∞ π
m[x ] = ∫ xf ( x)dx = 0,5 ∫ x sin xdx = π / 2.
−∞ 0
при этом для нахождения интеграла используем формулу интегрирова-
ния по частям. далее находим ожидание x 2 по второй
формуле (8.7)
∞ π
m[x ] = ∫ x f ( x)dx = 0,5 ∫ x 2 sin xdx =0,5(π 2 − 4).
2 2
−∞ 0
при вычислении интеграла дважды использовалась формула интегриро-
вания по частям. теперь находим дисперсию по формуле (8.6)
d[ x ] = m [ x 2 ] − (m x ) 2 = 0,5(π 2 − 4) − π 2 / 4 = π 2 / 4 − 2.
значит, σ [ x ] = d[ x ] = π 2 − 8.
ответ: m x = π / 2; d x = 0,25(π 2 − 8); σ x = 0,5 π 2 − 8.
пример 8. непрерывная случайная величина х распределена по за-
кону лапласа
пошаговое объяснение:
a) √2cos2x< < 1 b)2㏒²₅x-10㏒₂₅x+2=0
cos2x< < 1/√2=√2/2 2log²₅x-10log₅^²x+2=0
2x=π/4+2πk, k∈z 2log²₅x-10/2log₅x+2=0
x=π/8+πk, k∈z пусть log₅x=t
2t²-5t+2=0
d=(-5)²-4*2*2=25-16=9
x₁=(5+3)/2*2=8/4=2
x₂=(5-3)/2*2=2/4=1/2=0.5
решил как уравнение.
