Question

Найти предел последовательности, с решением

Answer 1

ответ 1. Решение задания приложено

Answer 2

$\frac{1}{n\cdot (n+1)}=\frac{1+n-n}{n\cdot (n+1)}=\frac{n+1}{n\cdot (n+1)}-\frac{n}{n\cdot (n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\\\\boxed {\; \frac{1}{n\cdot (n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\; }\\\\\\\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{(n-2)(n-1)}+\frac{1}{(n-1)\cdot n}+\frac{1}{n\cdot (n+1)}=\\\\=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\\\\=1-\frac{1}{n+1}$

$\lim\limits _{n \to \infty}\Big (\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{n\, (n+1)}\Big )=\lim\limits _{n \to \infty}\Big (1-\frac{1}{n+1}\Big )=1-0=1\\\\\Big [\; pri\; \; n\to \infty \, :\; (n+1)\to \infty \; ,\; \; \frac{1}{n+1}\to 0\; \Big ]$