Арифметическая - число, состоящее из одной или из нескольких равных частей (долей) единицы. Д. изображается символом (или a/b), где аи b - целые числа. Числитель аД.показывает число взятых долей единицы, разделенной на столько долей, какова величина знаменателя b. Д. можно рассматривать также, как частное от деления ана b.
Д.не меняется, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же отличное от нуля целое число. Благодаря этому любые две Д. и можно привести к общему знаменателю, т. е. заменить и на равные им Д., имеющие один и тот же знаменатель. Кроме того, Д. можно сокращать, поделив ее числитель и знаменатель на одно и то же число, вследствие чего, всякую Д. можно представить в виде несократимой, т. е. такой, у к-рой числитель и знаменатель не имеют общих множителей.
Сумма и разность Д. и с одинаковыми знаменателями определяются по правилу:
Чтобы сложить или вычесть Д. с разными знаменателями, надо предварительно привести их к общему знаменателю. Обычно в качестве общего знаменателя дробей и берется наименьшее общее кратное чисел bи d. Умножение и деление Д. производятся по правилам:
Д. наз. правильной, если ее числитель меньше знаменателя, инеправильной - в противном случае. Д. наз. десятичной, если ее знаменатель является степенью числа 10 (см. Десятичная дробь).
Формальное определение дробей. Д. могут быть определены как упорядоченные пары целых чисел ( а, b), где для к-рых задано отношение эквивалентности (отношение равенства Д.), а именно, считается, что ( а, b)= ( с, d), если ad=bc. Кроме того, во множестве Д. определены операции сложения, вычитания, умножения и деления, подчиненные следующим правилам:
При умножении дроби на натуральное число, мы должны ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. Умножаем только 7 в числителе на число 3. Чтобы умножить смешанную дробь на натуральное число, мы должны умножить и целую часть и числитель дроби на это число. Умножаем и 1 в целой части и 2 в числителе на число 3. При умножении простой дроби на простую дробь, надо: 1) перемножить числители этих дробей и результат записать в числитель 2) перемножить их знаменатели и результат записать в знаменатель Перемножаем 2 и 3 в числителе, а 5 и 4 в знаменателе. Для умножения смешанных чисел, надо записать их в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения простых дробей. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби, а затем перемножаем их.
