Теорема Безу
Остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (x - a) равен f(a)
Доказательство
f(x) = (x - a)·g(x) + r, где g(x) - частное, имеет степень на 1 меньше, чем f(x), а r - число (многочлен степени 0)
Тогда, подставляя x = a получаем:
f(a) = (a - a)·g(a) + r, то есть получаем f(a) = r, или r = f(a) - что и требовалось.
Теорема 2
x = a - корень f(x) ⇔ f(x) делится на (x - a)
Доказательство
из теоремы Безу получаем, что если f(a) = 0 (то есть a - корень f(x)) ⇒ f(x) = (x - a)·g(x) + 0 ⇒ f(x) при делении на (x - a) дает g(x) при 0-м остатке, а значит делится (x - a)
Обратно: раз f(x) делится на (x - a), значит остаток равен 0, а он по теореме Безу равен f(a), то есть a - корень f(x)
Начнем подбирать:
211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219.
Из данных чисел лишь у 4 последняя - четная, а средняя - нечетная.
Таким образом приходим к выводу, что у трехзначных чисел, начинающих на 2, всего 20 ( 4*5=20, т.к. всего 5 нечетных цифр) подходят данным критериям. И по столько же штук можно найти и в остальных числах, начинающих на четную цифру. Следовательно, всего таких чисел: 20*4=80.