Question

Даны координаты точек a,b,c и м найти 1)уравнение плоскости q проходящей через точки а, в и с 2)каноническое уравнение прямой, проходящей через точку м перпендикулярно плоскости q 3)точки пересечения полученной прямой с плоскостью q и координатными плоскостями xoy, xoz, yoz 4)расстояние от точки м до плоскости q 1,2 решила, а вот 3 и 4 не могу, я в ступоре, может потому что в 1,2ом что то не правильно

Answer 1

1)уравнение плоскости Q проходящей через точки А, В и С.
Уравнение плоскости:
A · x + B · y + C · z + D = 0 .
Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему:
A · x1 + B · y1 + C · z1 + D = 0 ,
A · x2 + B · y2 + C · z2 + D = 0 ,
A · x3 + B · y3 + C · z3 + D = 0 .
Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом:
A · (2) + B · (-2) + C · (1) + D = 0 ,
A · (-3) + B · (0) + C · (-5) + D = 0 ,
A · (0) + B · (-2) + C · (-1) + D = 0 .

Получим уравнение плоскости:
- 2x + y + 2z + 4 = 0.
Это же решение можно найти как векторное произведение векторов, которое вычисляется по формуле:a→×b→=(ay*bz−by*az;az*bx−bz*ax;ax*by−bx*ay).
а→×b→=(2⋅(−2)+0⋅(−6);−6⋅(−2)+2⋅(−5);−5⋅0+2⋅2)==(−4;2;4).
Коэффициент D находим так:
- D = (2) × (0) × (-1) + (-2) × (-5) × (0) + (1) × (-3) × (-2) - (1) × (0) × (0) - (-2) × (-3) × (-1) - (2) × (-5) × (-2) = -8.
Получаем уравнение плоскости Q:
 -4x + 2y + 4z + 8 = 0 или, сократив на 2,
 -2x + y + 2z + 4 = 0. 

2)каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М (-3;4;2) перпендикулярно плоскости Q: -2x + y + 2z + 4 = 0. 
(x+3)/(-2) = (y-4)/1 = (z-2)/2.

3) точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и координатными плоскостями xOy, xOz, yOz.
Найдем точку пересечения прямой и плоскости Q, составим систему уравнений, состоящую из уравнения прямой в параметрическом виде 
 (x+3)/−2=(y-4)/1=(z-2)/2=t и уравнения плоскости −2x+y+2z+4=0 :
 x = -2t - 3,
 y = t + 4,
 z = 2t + 2.
Подставим в уравнение плоскости:
−2(-2t-3)+(t+4)+2(2t+2)+4=0,
4t+6+t+4+4t+4+4 = 0,
9t = -18,
 t = -18/9 = -2.
x = -2*(-2)-3 = 1,
y = -2+4 = 2,
z = 2*(-2)+4 = 0.

ответ: точка пересечения прямой и плоскости Q: (1;2;0). 

4)расстояние от точки М до плоскости Q.

Рассмотрим уравнение плоскости Q: −2x+y+2z+4=0 - общее уравнение плоскости.
A=−2;B=1;C=2;D=4
Координаты точки M(-3;4;2) 

Подставляем данные в формулу, получаем

d=  |−2∗(-3)+1*4+2∗2+4|/√(−2)²+1²+2²) = 18/3 = 6.

ответ: расстояние от точки до плоскости равно d=6