Имеется 2 корзины с шарами. в одной 3 белых и 5 черных, в другой 5 белых и 3 черных. некто выбирает корзину и берет 1 шар. какова вероятность того, что этот шар черный.
Классическое определение вероятности - отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Разберемся сначала с вероятностями вытащить черный шар из каждой корзины. P(черный шар из корзины 1) = P(ч.ш. из к1) = 5/(5 + 3) = 5/8 Благоприятных исходов тут 5, т.к. черных шаров в этой корзине 5, а общее число исходов совпадает с числом всех шаров. P(черный шар из корзины 2) = P(ч.ш. из к2) = 3/(5 + 3) = 3/8
Довольно просто, не так ли? Теперь перейдем к искомой вероятности. Т.к. корзина выбирается наугад, то вероятность выбора каждой из них P(к1) = P(к2) =1/(1 + 1) = 0.5. Несложно понять, что количество шаров в конкретной корзине начинает влиять только в том случае, если некто выбрал именно ее. Т.о. искомая вероятность есть сумма произведений вероятности выбора конкретной корзины на вероятность выбора нужного шара из этой корзины.
Для удобства будем вести расчеты концентрации в долях единицы. 50% = 50/100 = 0,5 ; 54% = 54/100= 0,54 Х концентрация первого раствора: У концентрация второго раствора. 1) смешаем единичные массы растворов: Х + У = получим общее количество кислоты в двух единичных массах раствора; (Х + У)/2 содержание кислоты в единице полученного раствора. (Х + У)/2 = 0,54 по условию Х + У = 1,08 (1) это первое уравнение системы; 2) смешаем данные массы растворов полностью: 25 * Х кг масса кислоты в 25 кг первого р-ра; 5 *У кг масса кислоты в 5 кг второго раствора; (25Х+5У) кг масса кислоты при сливании растворов; 25 + 5 = 30 кг получится масса раствора; (25Х + 5У)/30 будет концентрация раствора; (25Х+5У)/30 = 0,5 по условию; (25Х + 5У) = 15 (2) Это второе уравнение системы.
{Х + У = 1,08; (1) {25Х + 5У = 15; (2) Из (1) У = 1,08 - Х, подставим это в (2); 25Х + 5(1,08 - Х) = 15; 25Х - 5,4 - 5Х = 15; 20Х = 9,6; Х = 0,48 = 48/100 = 48% ответ: 48 % концентрация раствора в первом сосуде Проверка: У = 1,08 - 0,48 = 0,60 (или 60%); (25*0,48+5*0,6)/30 = 0,5 0,5=0,5; (60+48)/2=54; 54 = 54
Пусть х% концентрация к-ты в 1м сосуде, у% концентрация к-ты во 2м сосуде. Тогда чистой кислоты в 1м сосуде 0,6х кг, а во втором 0,2у кг. При смешивании этих растворов получим 80 кг * 30% = 24 кг чистой кислоты. Отсюда уравнение 0,6х + 0,2у = 24. При смешивании равных масс(напр., по 20 кг) растворов получим в сосудах 0,2х кг и 0,2у кг чистой кислоты соответственно. Тогда в новой смеси будет 40 кг * 45% = 18 кг чистой кислоты. Отсюда второе уравнение 0,2х + 0,2у = 18. Решаем систему: В первом сосуде концентрация кислоты 15%. Значит, кислоты в нём 20кг*15%=3кг ответ: 3кг.
P(черный шар из корзины 1) = P(ч.ш. из к1) = 5/(5 + 3) = 5/8
Благоприятных исходов тут 5, т.к. черных шаров в этой корзине 5, а общее число исходов совпадает с числом всех шаров.
P(черный шар из корзины 2) = P(ч.ш. из к2) = 3/(5 + 3) = 3/8
Довольно просто, не так ли? Теперь перейдем к искомой вероятности. Т.к. корзина выбирается наугад, то вероятность выбора каждой из них
P(к1) = P(к2) =1/(1 + 1) = 0.5. Несложно понять, что количество шаров в конкретной корзине начинает влиять только в том случае, если некто выбрал именно ее. Т.о. искомая вероятность есть сумма произведений вероятности выбора конкретной корзины на вероятность выбора нужного шара из этой корзины.
P(черный шар) = P(к1)*P(ч.ш. из к1) + P(к2)*P(ч.ш. из к2) =
= 1/2 * 5/8 + 1/2 * 3/8 = 1/2 *(5/8 + 3/8) = 1/2 = 0.5 или 50 процентов
ответ: вероятность того, что шар черный = 50 процентов.