Дана правильная шестиугольная пирамида sabcdef с вершиной s. пусть k— точка пересечения этой плоскости с ребром sc. найдите угол между прямой bk и плоскостью asb, если ab: as=1: 2.
Пусть взяли первоначально х кг 14%-ой кислоты и у кг 50%-ой кислоты. Тогда (0,14х + 0,5у) кг вещества будет в растворе, полученном добавлением 10 кг воды. Но с др.стороны там окажется 0,22(х+у+10) кг этого же вещества. Получим уравнение 0,22(х+у+10) = 0,14х + 0,5у. Если добавить 10кг 50%ого раствора, то (0,14х + 0,5у + 5) кг вещества будет в таком новом растворе. Но с др.стороны массу вещества в таком растворе дает по условию выражение 0,32(х+у+10) кг. Получим уравнение 0,32(х+у+10) = 0,14х + 0,5у + 5. Решим систему Вычитаем почленно из второго уравнения первое: Первоначально взяли 25 кг 14%-го раствора кислоты. ответ: 25 кг.
Производная функции: y = x^4 +4x^2 +3 равна: y' = 4x³ + 8x = 4х(х² + 2). Приравняем её нулю: 4х(х² + 2) = 0. Имеем только 1 корень (точку экстремума функции): х = 0. Исследуем знаки производной вблизи найденной критической точки: х = -0.5 0 0.5 y'=4x^3+8x -4.5 0 4.5 . Производная меняет знак с - на + это минимум функции. График симметричен относительно оси Оу, функция чётная. При -∞ < x < 0 функция убывает (производная отрицательна), при 0 < x < ∞ функция возрастает (производная положительна).
В правильной шестиугольной пирамиде проекция бокового ребра на основание равна стороне основания.
Примем ребро основания за 1, боковое ребро - 2.
Находим высоту пирамиды: Н = √(2² - 1²) = √3.
Половина высоты равна √3/2.
Расстояние от ребра АВ до высоты пирамиды равно 1*cos 30° = √3/2.
То есть секущая плоскость (а с ней и отрезок ВК) имеют угол наклона к основанию 45 градусов.
Сделаем осевое сечение пирамиды перпендикулярно ребру АВ.
В сечении равнобедренный треугольник PST, боковые стороны которого PS и ST равны апофеме А.
А= √((√3/2)² + Н²) = √((3/4+ 3) = √(15/4) = √15/2.
Если отрезок ВК перенести точкой В в точку Р, то угол SPM и будет искомым углом φ между прямой BK и плоскостью ASB.
Отрезок РМ = (√3/2)*√2 = √6/2.
cos φ = )(6/4) + (15/4) - (3/4))/(2*(√6/2)*(√15/2)) = 3√10/10.
φ = arc cos(3√10/10) = 0,32175 радиан = 18,435 градуса.
Векторное решение подтверждает этот результат.
Направляющий вектор прямой имеет вид: l m n
Скалярное произведение = 0,75
s = {l; m; n} 0,433012702 0,75 0,866025404
Модуль =√1,5 = 1,224744871.
Вектор нормали плоскости имеет вид: A B C
sin fi = 0,316227766
Ax + By + Cz + D = 0
0,866025404 1,5 -0,866025404 Модуль 1,936491673
fi = 0,321750554 радиан
= 18,43494882 градус .