Question

Найдите точку , равноудаленную от точек а(7; -1),в (-2; 2) и с(-1; -5)

Answer 1

 

Answer 2

Чтобы найти точку, равноудаленную от данных точек, мы сможем использовать свойство перпендикулярных биссектрис. Перпендикулярная биссектриса - это линия, которая проходит через середины двух сторон треугольника и является перпендикулярной к этой стороне.

1) Найдем середины сторон AB, AC и BC.
AB:
x = (7 + (-2))/2 = 5/2 = 2.5
y = (-1 + 2)/2 = 1/2 = 0.5
Середина AB: M1(2.5, 0.5)

AC:
x = (7 + (-1))/2 = 6/2 = 3
y = (-1 + (-5))/2 = -6/2 = -3
Середина AC: M2(3, -3)

BC:
x = (-2 + (-1))/2 = -3/2 = -1.5
y = (2 + (-5))/2 = -3/2 = -1.5
Середина BC: M3(-1.5, -1.5)

2) Теперь найдем уравнения прямых, проходящих через середины сторон AB, AC и BC, и перпендикулярных соответствующим им сторонам треугольника.

AB:
Уравнение прямой проходящей через две точки: (x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1)
(x - 2.5)/((7 - (-2))/2.5) = (y - 0.5)/((-1 - 2)/(0.5 - 1)
(x - 2.5)/(9/2.5) = (y - 0.5)/(-3/(0.5 - 1)
(x - 2.5)/(9/2.5) = (y - 0.5)/(-3/(-0.5))
(x - 2.5)/(9/2.5) = (y - 0.5)/6
(x - 2.5)*2.5/9 = (y - 0.5)/6
(x - 2.5)*5/9 = (y - 0.5)/6
6*(x - 2.5)*5 = 9*(y - 0.5)
30*(x - 2.5) = 9*(y - 0.5)
30x - 75 = 9y - 4.5
30x - 9y = 70.5

AC:
Уравнение прямой проходящей через две точки: (x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1)
(x - 3)/((7 - (-1))/3) = (y - (-3))/((-1 - (-5))/(-3 - (-3)))
(x - 3)/(8/3) = (y + 3)/(-4/-3)
(x - 3)/(8/3) = (y + 3)/(4/3)
(x - 3)*3/8 = (y + 3)/(4/3)
(x - 3)*9/8 = (y + 3)/4
9(x - 3) = 8(y + 3)
9x - 27 = 8y + 24
9x - 8y = 51

BC:
Уравнение прямой проходящей через две точки: (x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1)
(x - (-1.5))/((-2 - (-1.5))/(-1.5 + 1.5)) = (y - (-1.5))/((2 - (-5))/(-1.5 - (-1.5)))
(x + 1.5)/((-2 - (-1.5))/1) = (y + 1.5)/(2 - (-5))/(-1.5 + 1.5)
(x + 1.5)/(-2.5/1) = (y + 1.5)/(7/(-3))
(x + 1.5)/(-2.5/1) = (y + 1.5)/(-7/3)
(x + 1.5)*1/(-2.5) = (y + 1.5)/(-7/3)
(x + 1.5)*(-3/2.5) = (y + 1.5)/(-7/3)
(x + 1.5)*(-6/5) = (y + 1.5)/(-7/3)
(-6/5)(x + 1.5) = (-7/3)(y + 1.5)
-6(x + 1.5) = -7(y + 1.5)
-6x - 9 = -7y - 10.5
6x + 7y = 1.5

3) Теперь найдем пересечение полученных уравнений. Для этого решим систему уравнений:

30x - 9y = 70.5
9x - 8y = 51

Умножим первое уравнение на 9 и второе уравнение на 30:
270x - 81y = 634.5
270x - 240y = 1530

Теперь вычтем второе уравнение из первого:
-240y + 240y = 1530 - 634.5
0 = 895.5

Уравнение 0 = 895.5 не имеет решений, что означает, что данные точки не могут образовать треугольник. Следовательно, нет точки, равноудаленной от всех данных точек.