Question

Доказать, что для любого натурального числа n. (n+1)(n+2)**2n=2^n*1*3*5**(2n-1)

Answer 1

Методом математической индукции

База индукции при n=1 утверждение верно, так как
2*1=2^1*(2*1-1) (обе части равны2 )

--(при n=2
(2+1)*(2*2)=2^2*1*(2*2-1) (обе части равны 12)
)
Гипотеза индукции. Пусть при n=k утверждение верно, т.е.
справедливо равенство
$(k+1)(k+2)*...*(2k)=2^k*1*3*5*...(2k-1)$

Индукционный переход. Докажем что тогда утверждение верно при n=k+1, т.е., что
справедливо равенство
$(k+1+1)(k+1+2)*...*(2(k+1))=2^{k+1}*1*3*5*...*(2(k+1)-1)$
-----
$2^{k+1}*1*3*5*.....*(2(k+1)-1)=2*2^k*1*3*5*...*(2k-1)*(2k+1)=$
используем гипотезу(предположение) индукции, получим
$=2(2k+1)*(k+1)(k+2)*...*2k=(k+2)*(k+3)*...*(2k)*(2k+1)*(2*(k+1))=$
$(k+1+1)(k+1+2)*..*(2k)*(2k+1)*(2(k+1))$, что и хотели доказать.

По принципу математической индукции утверждение верно. Доказано