1) Найти область определения функции; Ограничений нет - х ∈ R (знаменатель не может быть равен нулю). 2) Исследовать функцию на непрерывность; Непрерывна, так как нет точек разрыва функции. 3) Определить, является ли данная функция четной, нечетной; f(-x) = ((-x)-3)²/((-x)² +9) = (x+3)²/(x² +9) ≠ f(-x) ≠ -f(-x). Функция не чётная и не нечётная. 4) Найти интервалы функции и точки её экстремума ; Находим производную функции. y' = 6(x-3)(х+3)/(x² + 9)². Приравняв её нулю (достаточно только числитель), имеем 2 корня: х = 3 и х = -3. Имеем 3 промежутка (-∞; -3), (-3; 3) и (3; ∞). Находим знаки производной на этих промежутках. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума. x = -4 -3 0 3 4 y' = 0,0672 0 -0,66667 0 0,0672. Отсюда получаем: Функция возрастает на промежутках (-∞; -3), (3; +∞) и убывает на промежутке (-3; 3) Экстремумов два: - максимум в точке х = -3, - минимум в точке х = 3. 5) Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции; Находим вторую производную. y'' = -12х(x² - 27)/(x² + 9)³. Приравняв нулю, имеем 3 точки перегиба: х = 0, х = √27 = 3√3 и х = -3√3. 6) Найти асимптоты графика функции. Асимптота есть одна горизонтальная у =1. График функции, таблица точек для его построения приведены в приложении.
1) Найти область определения функции; Ограничений нет - х ∈ R (знаменатель не может быть равен нулю). 2) Исследовать функцию на непрерывность; Непрерывна, так как нет точек разрыва функции. 3) Определить, является ли данная функция четной, нечетной; f(-x) = ((-x)-3)²/((-x)² +9) = (x+3)²/(x² +9) ≠ f(-x) ≠ -f(-x). Функция не чётная и не нечётная. 4) Найти интервалы функции и точки её экстремума ; Находим производную функции. y' = 6(x-3)(х+3)/(x² + 9)². Приравняв её нулю (достаточно только числитель), имеем 2 корня: х = 3 и х = -3. Имеем 3 промежутка (-∞; -3), (-3; 3) и (3; ∞). Находим знаки производной на этих промежутках. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума. x = -4 -3 0 3 4 y' = 0,0672 0 -0,66667 0 0,0672. Отсюда получаем: Функция возрастает на промежутках (-∞; -3), (3; +∞) и убывает на промежутке (-3; 3) Экстремумов два: - максимум в точке х = -3, - минимум в точке х = 3. 5) Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции; Находим вторую производную. y'' = -12х(x² - 27)/(x² + 9)³. Приравняв нулю, имеем 3 точки перегиба: х = 0, х = √27 = 3√3 и х = -3√3. 6) Найти асимптоты графика функции. Асимптота есть одна горизонтальная у =1. График функции, таблица точек для его построения приведены в приложении.
