Question

Найти дифференциалы следующих производных: 1) y = x(x - 3); 2) y = найти частные производные второго порядка и полный дифференциал: 1) z =

Answer 1

$1)\quad y=x(x-3)=x^2-3x\\\\y'=2x-3\\\\dy=(2x-3)dx\\\\2)\quad y=\sqrt{x^2-3x}\\\\y'= \frac{2x-3}{2\sqrt{x^2-3x}} \\\\dy= \frac{2x-3}{2\sqrt{x^2-3x}} dx\\\\3)\quad z= \frac{x^2}{y-2x}\\\\z'_{x}= \frac{2x(y-2x)-x^2(-2)}{(y-2x)^2} = \frac{2xy-2x^2}{(y-2x)^2} = \frac{2x(y-x)}{(y-2x)^2} \\\\z'_{y}= \frac{-x^2}{(y-2x)^2}\\\\dz=\frac{2x(y-x)}{(y-2x)^2}dx-\frac{x^2}{(y-2x)^2} dy\\\\z''_{xx}= \frac{(2y-4x)(y-2x)^2-2(2xy-2x^2)(y-2x)(-2)}{(y-2x)^4}= \frac{2(y-2x)^2+8x(y-x)}{(y-2x)^3}$

$z''_{yy}= \frac{-x^2\cdot 2(y-2x)}{(y-2x)^4} = \frac{-2x^2}{(y-2x)^3} \\\\z''_{yx}= \frac{-2x(y-2x)^2+x^2\cdot 2(y-2x)\cdot (-2)}{(y-2x)^4} = \frac{-2x(y-2x)-4x^2}{(y-2x)^3} =\frac{-2xy}{(y-2x)^3}=z''_{xy}$