Даны координаты вершин пирамиды:
A1( 5; -1; 0), A2 (-7; 1; -4), A3(1; 1; 3), A4(2; 3; -3) . Найти:
1) длину ребра A2A4.
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
a = √(X² + Y² + Z²).
Находим координаты вектора А2А4 по точкам A2 (-7; 1; -4), A4(2; 3; -3).
А2А4 = (2-(-7); 3-1; -3-(-4)) = (9; 2; 1).
Длина А2А4 = √(9² + 2² + 1²) = √(81 + 4 + 1) = √86.
2) площадь грани A1A2A3.
Площадь грани равна половине модуля векторного произведения векторов А1А2 и А1А3.
Находим векторы по точкам: A1( 5; -1; 0), A2 (-7; 1; -4), A3(1; 1; 3).
А1А2 = (-7-5; 1-(-1); -4-0) = (-12; 2; -4),
модуль равен = √((-12)² + 2² + (-4)²) = √164 = 2√41 ≈ 12,8062,
A1А3 = (1-5; 1-(-1); 3-0) = (-4; 2; 3),
модуль = √((-4)² + 2² + 3²) = √29 ≈ 5,38516.
Находим векторное их произведение.
I j k| I j
-12 2 -4| -12 2
-4 2 3| -4 2 = 6i + 16j – 24k + 36j+ 8i + 8k = 14i + 52j – 16k.
Результат: (14; 52; -16). Это координаты нормального вектора плоскости А1А2А3. Теперь находим площадь треугольника:
S = (1/2)* √(14² + 52² + (-16)²) = (1/2)*√3156 ≈ 28,0891 кв. ед.
3) угол А1А2А3 это между векторами A2A1 и A2A3.
Вектор А2А1 = -(А1А2) = (12; -2; 4).
Его модуль равен 2√41.
Находим координаты вектора А2А3 по точкам A2 (-7; 1; -4), A3(1; 1; 3).
А2А3 = (1-(-7); 1-1; 3-(-4)) = (8; 0; 7).
Длина А2А3= √(8² + 0² + 7²) = √(64 + 0 + 49) = √113 ≈ 10,6301.
cos(A2A1_A2A3) = (12*8+(-2)*0+4*7)/(2√41*√113 ) = 124/(2√4633) =
62/√4633 ≈ 0,91088.
Угол равен arccos 0,91088 = 24,3729 градуса.
4) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3.
Точка A4(2; 3; -3), нормальный вектор плоскости А1А2А3:( (14; 52; -16) (найден в пункте 2) - он для высоты является направляющим вектором.
Получаем уравнение:
(x - 2)/14 = (y - 3)/52 = (z + 3)/(-16).
5) длина высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
Высоту находим по формуле H = 3V/S.
Для этого найдём объём пирамиды как (1/6) смешанного произведения векторов (А1А2хА1А3)*А1А4.
Векторное произведение А1А2хА1А3 найдено ранее и равно (14; 52; -16).
Находим вектор А1А4 ио точкам A1( 5; -1; 0), A4(2; 3; -3).
A1А4 = ( 2-5; 3-(-1); -3-0) = (-3; 4; -3).
A1A2xA1A3 = 14 52 -16
A1A4 = -3 4 -3
-42 + 208 + 48 = 214.
V = (1/6)*|214| = (214/6) = (107/3) ≈ 35,667 куб. ед.
Тогда высота из точки А4 на плоскость А1А2А3 равна:
Н = (3*(107/3))/((1/2)*√3156) = 107√789/789 ≈ 3,8093.
