Допустим, мы хотим преобразовать обыкновенную дробь 11/4 в десятичную. Проще всего сделать это так:
11
= 2
3
= 2
3
= 2
3∙5∙5
= 2
75
= 2,75.
4
4
2∙2
2∙2∙5∙5
100
Это удалось нам потому, что в данном случае разложение знаменателя на простые множители состоит только из двоек. Мы дополнили это разложение еще двумя пятерками, воспользовались тем, что 10 = 2∙5, и получили десятичную дробь. Подобная процедура возможна, очевидно, тогда и только тогда, когда разложение знаменателя на простые множители не содержит ничего, кроме двоек и пятерок. Если в разложении знаменателя присутствует любое другое простое число, то такую дробь в десятичную преобразовать нельзя. Тем не менее, мы попробуем это сделать, но только другим с которым мы познакомимся на примере всё той же дроби 11/4. Давайте поделим 11 на 4 «уголком»:
1
1
4
8
2
3
В строке ответа мы получили целую часть ( 2 ), и еще у нас есть остаток ( 3 ). Раньше мы деление на этом заканчивали, но теперь мы знаем, что к делимому ( 11 ) можно приписать справа запятую и несколько нулей, что мы теперь мысленно и сделаем. Следом после запятой идет разряд десятых. Ноль, который стоит у делимого в этом разряде, припишем к полученному остатку ( 3 ):
1
1
4
8
2
3
0
Теперь деление можно продолжать как ни в чем не бывало. Надо только не забыть поставить в строке ответа запятую после целой части:
1
1
4
8
2,
7
3
0
2
8
2
Теперь приписываем к остатку ( 2 ) ноль, который стоит у делимого в разряде сотых и доводим деление до конца:
1
1
4
8
2,
7
5
3
0
2
8
2
0
2
0
0
В результате получаем, как и раньше,
11/4 = 2,75.
Попробуем теперь точно таким же вычислить, чему равна дробь 27/11:
2
7
1
1
2
2
2,
4
5
5
0
4
4
6
0
5
5
5
Мы получили в строке ответа число 2,45, а в строке остатка — число 5 . Но такой остаток нам уже раньше встречался. Поэтому мы уже сразу можем сказать, что, если мы продолжим наше деление «уголком», то следующей цифрой в строке ответа будет 4, затем пойдет цифра 5, потом — снова 4 и снова 5, и так далее, до бесконечности:
27 / 11 = 2,454545454545...
Мы получили так называемую периодическую десятичную дробь с периодом 45. Для таких дробей применяется более компактная запись, в которой период выписывается только один раз, но при этом он заключается в круглые скобки:
2,454545454545... = 2,(45).
Вообще говоря, если делить «уголком» одно натуральное число на другое, записывая ответ в виде десятичной дроби, то возможно только два исхода: (1) либо рано или поздно в строке остатка мы получим ноль, (2) либо там окажется такой остаток, который уже нам раньше встречался (набор возможных остатков ограничен, поскольку все они заведомо меньше делителя). В первом случае результатом деления является конечная десятичная дробь, во втором случае — периодическая.
Смотри, 11/7. 11 больше, чем 7. Значит эта дробь больше целого (единицы). Представь дробь 11/7 как 7+4/7, то есть получается, что в этой дроби 7/7 - это целая часть, то есть единица, и остается еще дробная часть 4/7. Соответственно, 11/7=1целое4/7
Для заполнения пропусков в таблице, нам нужно использовать отношения записанные через знак ":" и числа, указанные в таблице. Давайте проанализируем каждый ряд и заполним пропуски.
В первом ряду указано отношение "Пирамида : 3", что означает, что количество пирамид равно 3.
Во втором ряду указано отношение "Пирамида : ?". Мы знаем, что количество пирамид равно 3 из предыдущего ряда. Таким образом, мы можем заполнить пропуск значением 3.
В третьем ряду указано отношение "? : 2". Мы уже знаем, что количество пирамид равно 3 из предыдущего ряда. Чтобы найти пропущенное значение, мы можем использовать пропорцию. Для этого умножим 3 на 2 и разделим на 5: 3 * 2 / 5 = 6 / 5 = 1.2. Таким образом, пропущенное значение равно 1.2.
В четвертом ряду указано отношение "? : 5". Чтобы найти пропущенное значение, мы можем использовать пропорцию. Умножим 3 на 5 и разделим на 2: 3 * 5 / 2 = 15 / 2 = 7.5. Таким образом, пропущенное значение равно 7.5.
В пятом ряду указано отношение "10 : ?". Мы уже знаем, что количество пирамид равно 3 из первого ряда. Чтобы найти пропущенное значение, мы можем использовать пропорцию. Умножим 3 на 10 и разделим на 3: 3 * 10 / 3 = 10. Таким образом, пропущенное значение равно 10.
Итак, пропущенные значения в таблице будут выглядеть следующим образом:
Прежде чем выбрать верное утверждение, давайте разберемся, что такое пропорция и как мы можем определить, являются ли числа пропорциональными друг другу.
Пропорция - это математическое соотношение между двумя наборами чисел, где каждое число в первом наборе имеет соответствующее число во втором наборе. Пропорция обозначается символом "∝" или символом "=". Знак "=" означает, что числа полностью равны, а знак "∝" означает, что числа пропорциональны.
Чтобы определить, является ли одна пара чисел пропорциональной другой паре, мы можем сравнить их отношения. Отношение двух чисел можно найти, разделив одно число на другое.
В этом примере, у нас есть числа 5 и 3, и мы должны выбрать пару чисел, которая пропорциональна им.
Вариант а) 10 и 9: Чтобы проверить, являются ли числа 10 и 9 пропорциональными числам 5 и 3, мы сначала найдем отношение чисел в каждой паре.
Отношение чисел в паре (10, 9) будет равно 10/9 ≈ 1.11.
Отношение чисел в паре (5, 3) будет равно 5/3 ≈ 1.67.
Так как эти два отношения не равны, то числа 10 и 9 не пропорциональны числам 5 и 3.
Вариант б) 15 и 9: Опять же, мы найдем отношение чисел в каждой паре.
Отношение чисел в паре (15, 9) будет равно 15/9 ≈ 1.67.
Отношение чисел в паре (5, 3) будет равно 5/3 ≈ 1.67.
Обратите внимание, что оба отношения равны примерно 1.67. Это означает, что числа 15 и 9 пропорциональны числам 5 и 3.
Вариант в) 15 и 6: Повторим процесс и найдем отношение в каждой паре.
Отношение чисел в паре (15, 6) будет равно 15/6 ≈ 2.5.
Отношение чисел в паре (5, 3) будет равно 5/3 ≈ 1.67.
Так как эти два отношения не равны, то числа 15 и 6 не пропорциональны числам 5 и 3.
Итак, верное утверждение будет - б) 15 и 9.
Обоснование товарищу школьнику: Мы сравнили отношения всех возможных пар чисел с числами 5 и 3 и обнаружили, что только пара чисел 15 и 9 имеет одинаковое отношение с числами 5 и 3. Это означает, что они пропорциональны. Все остальные пары чисел не пропорциональны данным числам.
Преобразование обыкновенной дроби в десятичную
Допустим, мы хотим преобразовать обыкновенную дробь 11/4 в десятичную. Проще всего сделать это так:
11
= 2
3
= 2
3
= 2
3∙5∙5
= 2
75
= 2,75.
4
4
2∙2
2∙2∙5∙5
100
Это удалось нам потому, что в данном случае разложение знаменателя на простые множители состоит только из двоек. Мы дополнили это разложение еще двумя пятерками, воспользовались тем, что 10 = 2∙5, и получили десятичную дробь. Подобная процедура возможна, очевидно, тогда и только тогда, когда разложение знаменателя на простые множители не содержит ничего, кроме двоек и пятерок. Если в разложении знаменателя присутствует любое другое простое число, то такую дробь в десятичную преобразовать нельзя. Тем не менее, мы попробуем это сделать, но только другим с которым мы познакомимся на примере всё той же дроби 11/4. Давайте поделим 11 на 4 «уголком»:
1
1
4
8
2
3
В строке ответа мы получили целую часть ( 2 ), и еще у нас есть остаток ( 3 ). Раньше мы деление на этом заканчивали, но теперь мы знаем, что к делимому ( 11 ) можно приписать справа запятую и несколько нулей, что мы теперь мысленно и сделаем. Следом после запятой идет разряд десятых. Ноль, который стоит у делимого в этом разряде, припишем к полученному остатку ( 3 ):
1
1
4
8
2
3
0
Теперь деление можно продолжать как ни в чем не бывало. Надо только не забыть поставить в строке ответа запятую после целой части:
1
1
4
8
2,
7
3
0
2
8
2
Теперь приписываем к остатку ( 2 ) ноль, который стоит у делимого в разряде сотых и доводим деление до конца:
1
1
4
8
2,
7
5
3
0
2
8
2
0
2
0
0
В результате получаем, как и раньше,
11/4 = 2,75.
Попробуем теперь точно таким же вычислить, чему равна дробь 27/11:
2
7
1
1
2
2
2,
4
5
5
0
4
4
6
0
5
5
5
Мы получили в строке ответа число 2,45, а в строке остатка — число 5 . Но такой остаток нам уже раньше встречался. Поэтому мы уже сразу можем сказать, что, если мы продолжим наше деление «уголком», то следующей цифрой в строке ответа будет 4, затем пойдет цифра 5, потом — снова 4 и снова 5, и так далее, до бесконечности:
27 / 11 = 2,454545454545...
Мы получили так называемую периодическую десятичную дробь с периодом 45. Для таких дробей применяется более компактная запись, в которой период выписывается только один раз, но при этом он заключается в круглые скобки:
2,454545454545... = 2,(45).
Вообще говоря, если делить «уголком» одно натуральное число на другое, записывая ответ в виде десятичной дроби, то возможно только два исхода: (1) либо рано или поздно в строке остатка мы получим ноль, (2) либо там окажется такой остаток, который уже нам раньше встречался (набор возможных остатков ограничен, поскольку все они заведомо меньше делителя). В первом случае результатом деления является конечная десятичная дробь, во втором случае — периодическая.