Приведем примерный алгоритм получения необходимых данных.
1.Нахождение области определения функции
Определение интервалов, на которых функция существует.
!!! Очень подробно об области определения функций и примеры нахождения области определения тут.
2.Нули функции
Для вычисления нулей функции, необходимо приравнять заданную функцию к нулю и решить полученное уравнение. На графике это точки пересечения с осью ОХ.
3.Четность, нечетность функции
Функция четная, если y(-x) = y(x). Функция нечетная, если y(-x) = -y(x). Если функция четная – график функции симметричен относительно оси ординат (OY). Если функция нечетная – график функции симметричен относительно начала координат.
4.Промежутки знакопостоянства
Расстановка знаков на каждом из интервалов области определения. Функция положительна на интервале - график расположен выше оси абсцисс. Функция отрицательна - график ниже оси абсцисс.
5. Промежутки возрастания и убывания функции.
Для определения вычисляем первую производную, приравниваем ее к нулю. Полученные нули и точки области определения выносим на числовую прямую. Для каждого интервала определяем знак производной. Производная положительна - график функции возрастает, отрицательна - убывает.
6. Выпуклость, вогнутость.
Вычисляем вторую производную. Находим значения, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Вторая производная положительна - график функции выпукл вверх. Отрицательна - график функции выпукл вниз.
7. Наклонные асимптоты.
Пример исследования функции и построения графика №1
Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
(4,8 - 5,76) : 1 1/3 = - 0,72
1) 4,8 - 5,76 = - 0,96 = - 96/100 = - 24/25 (сократили на 4)
2) - 24/25 : 1 1/3 = - 24/25 : 4/3 = - 24/25 · 3/4 = - (6·3)/(25·1) = - 18/25 = - 72/100 = - 0,72 (доп.множ. 4)
- - - - - - - - - - - -
(4,5 - 5,75) : 1 1/4 = - 1
1) 4,5 - 5,75 = - 1,25
2) - 1,25 : 1 1/4 = - 1,25 : 1,25 = - 1
Пояснения: 1 1/4 = 1 25/100 = 1,25 (доп.множ. 25)
- - - - - - - - - - - -
(1 2/5 - 0,84) · 1 1/2 = 0,84
1) 1 2/5 - 0,84 = 1,4 - 0,84 = 0,56
2) 0,56· 1 1/2 = 0,56 · 1,5 = 0,84
Пояснения: 1 2/5 = 1 4/10 = 1,4 (доп.множ.2)
1 1/2 = 1 5/10 = 1,5 (доп.множ. 5)