Question

Надо! 1 1 найти производную 4ого порядка для функций: а) у(х) = 3х^14 - 5х^12+ 8х б)f(х)=14/х^12 2 найти производные 3ого порядка для функций: a) у(х)= cos 8x б)f(х)=e^х/8 3 найти производные 2ого порядка для функций: a)y(х) = х^14 * sin 12х б)f(х)= lnх/ х^12

Answer 1

Задание 1
Найти производную 4ого порядка для функций:
а) у(х) = 3х^14 - 5х^12+ 8х

Находим последовательно все производные
$y' = (3x^{14} - 5x^{12}+ 8x)' = (3x^{14})' - (5x^{12})'+ (8x)' =$$3*14x^{13}+5*12x^{11}+8 =42x^{13}+60x^{11}+8$

$y"=(42x^{13}+60x^{11}+8)'= (42x^{13})'+(60x^{11})'+(8)'=$$42*13x^{12}+60*11x^{10}= 546x^{12}+660x^{10}$

$y^{(3)}=(546x^{12}+660x^{10})'=(546x^{12})'+(660x^{10})'=$$546*12x^{11}+660*10x^9 =6552x^{11}+6600x^9$

$y^{(4)}=(6552x^{11}+6600x^9)'=(6552x^{11})'+(6600x^9)'=$$6552*11x^{10}+6600*9x^8=72072x^{10}+59400x^8$

б)f(х)=14/х^12
$y=14*x^{-12}$
Находим последовательно все производные
$y'=(14x^{-12})'=14*(-12)x^{-13}=-168x^{-13}$

$y"=(-168x^{-13})'=-168*(-13)x^{-14}=2184x^{-14}$

$y^{(3)}=(2184x^{-14})'=2184*(-14)x^{-15}=-30576x^{-15}$

$y^{(4)}=(-30576x^{-15})'=-30576*(-15)x^{-16=}=458640x^{-16}= \frac{45640}{x^{16}}$

Задание 2
Найти производные 3ого порядка для функций:
a) у(х)= cos 8x
y'=(cos8x)'=-sin(8x)*(8x)'=-8sin(8x)
y"=(-8sin(8x))'=-8cos(8x)*(8x)'=-64cos(8x)
$y^{(3)}=(-64cos(8x))'=-64*(-sin(8x))*(8x)'=512sin(8x)$

б)f(х)=e^х/8
$y'=(e^{ \frac{x}{8} })'=e^{ \frac{x}{8} }*(\frac{x}{8} )'=\frac{1}{8} e^{ \frac{x}{8}}$

$y"=(\frac{1}{8} e^{ \frac{x}{8}})'=\frac{1}{8} e^{ \frac{x}{8}}*( \frac{x}{8})'=\frac{1}{64} e^{ \frac{x}{8}}$

$y^{(3)}=(\frac{1}{64} e^{ \frac{x}{8}})'=\frac{1}{64} e^{ \frac{x}{8}}*(\frac{x}{8})'=\frac{1}{512} e^{ \frac{x}{8}}$

Задание 3 
Найти производные 2ого порядка для функций:
a)y(х) = х^14 * sin 12х 
$y' = (x^{14} * sin(12x))'=(x^{14})'*sin(12x)+x^{14}*(sin(12x))'=$$14x^{13}sin(12x)+x^{14}cos(12x)*(12x)'=14x^{13}sin(12x)+12x^{14}cos(12x)$

$y"=(14x^{13}sin(12x)+12x^{14}cos(12x))'=$$(14x^{13})'sin(12x)+14x^{13}(sin(12x))'+(12x^{14})'cos(12x)+$$12x^{14}(cos(12x))'=14*13x^{12}sin(12x)+14x^{13}cos(12x)*(12x)'+$
$12*14x^{13}cos(12x)-12x^{14}sin(12x)*(12x)'=$$182x^{12}sin(12x)+336x^{13}cos(12x)-144x^{14}sin(12x)$

б)f(х)= lnх/ х^12

$y'=(ln(x)*x^{-12})'=(ln(x))'x^{-12}+ln(x)*(x^{-12})'=$$\frac{1}{x}*x^{-12}-12ln(x)x^{-13}=x^{-13}(1-12ln(x))$

$y"=( \frac{1-12ln(x)}{x^{13}} )'= \frac{(1-12ln(x))'x^{13}-(1-12ln(x))(x^{13})'}{x^{26}} =$$\frac{(-\frac{12}{x} )x^{13}-(1-12ln(x))13x^{12})'}{x^{26}}=$$=\frac{-25+156ln(x)}{x^{14}}$