Question

Решить 70 по різні боки від центра круга радіус якого 3 см, проведені дві паралельні хорди(не рівні) однв з хорд є стороною правильного квадрата вписаного в це коло, а друга стороною правильного вписаного трикутника. знайти площу частини кола розміщеного між .

Answer 1

См. рисунок.
AB - одна хорда (сторона квадрата).
CD - другая хорда (сторона правильного треугольника).
Площадь части окружности между хордами (серый цвет) равна разности площади всей окружности и площади сегментов, образованных этими хордами (жёлтый цвет).
У квадрата диагонали пересекаются в точке О под прямым углом. Значит угол AOB = 90 градусов = $\frac\pi2$. Тогда площадь левого сектора 

$S_1=\frac{R^2}2\left(\frac\pi2-\sin\frac\pi2\right)=\frac92\left(\frac\pi2-1\right)=\frac{9\pi}4-\frac92$

У равностороннего треугольника все углы равны 60 градусов. Угол DFC = половине угла COD как вписанный. Значит, угол COD = 120 градусов = $\frac{3\pi}2$. Тогда площадь правого сегмента
$S_2=\frac{R^2}2\left(\angle COD-\sin\angle COD\right)=\frac{R^2}2\left(\frac{2\pi}3-\sin\frac{2\pi}3\right)=\\=\frac92\left(\frac{2\pi}3-\frac{\sqrt3}2\right)=$
Тогда искомая площадь будет равна
$S=S_o-S_1-S_2=\pi R^2-\left(\frac{9\pi}4-\frac92\right)-\left(3\pi-\frac{9\sqrt3}4\right)=\\=9\pi-\frac{9\pi}4-3\pi+\frac92+\frac{9\sqrt3}2=\frac{15\pi}4+\frac92(1+\frac{\sqrt3}2)$