Правило. Чтобы разложить число на простые множители, надо: — записать его слева от вертикальной черты; — справа от черты записать первый делитель числа — самое маленькое число из таблицы простых чисел, на которое данное число делится без остатка; — в следующей строке слева под числом записать делимое первого этапа, которое является частным от деления данного числа на записанный справа на одной строке с ним делитель; — справа найти (как и первый делитель) наименьшее простое число, на которое делимое первого этапа делится без остатка, это число будет вторым делителем числа; — слева записать делимое второго этапа, которое есть частное от деления предыдущей строки делимого на ее же делитель; — для делимого второго этапа также найти делитель из наименьшего числа простых чисел, записать его на той же строке справа н т. д., пока в делимом последнего этапа не будет стоять 1; — делители, стоящие справа от черты, записать множителями данного числа.
При a=2, b=1 выражение a³b-ab³ равно 8-2=6. Поскольку 6 делится на 2 и на 3, достаточно проверить только простые числа 2 и 3 (любое другое простое число не подходит при a=2 и b=1).
Покажем, что число 2 подойдет. Действительно, если хотя бы одно из чисел a,b четно, то и выражение a³b-ab³=ab(a²-b²)=ab(a+b)(a-b) четно. Если же оба числа нечетны, то числа a-b четно и все произведение четно.
Теперь покажем, что число 3 подойдет. Если хотя бы одно из чисел a и b делится на 3, то и все произведение ab(a+b)(a-b) делится на 3. Если оба числа не делятся на 3, то каждое из них имеет остаток 1 или остаток 2 при делении на 3. Если их остатки равны, то число a-b делится на 3, если же остатки не равны, то число a+b делится на 3 и опять все произведение делится на 3.
Примечание: считаем, что 0 делится на любое натуральное число, если выражение равно нулю при каких-то a и b, оно все равно делится на 2 и на 3.
