DD1 = R /2.
Отсюда O1D = 2 R /3 − R /2 = R /6 . Так как АD = ½ AC = R √3 /2, то
ответ. R √7/3
1.2. B треугольнике AOB (рис. P.1.2) известны: ∠ BAO = α/2 , ∠ AOB = α/2 + π/2, BO = m· По теореме синусов находим AB = m ctg α/2· Теперь можно найти AC и R = ВО1:
AC = 2AD = 2АВ sin (π/2 − α) = 2АВ cos α = 2m ctg α/2 cos α,
ответ.
1.3. Условие задачи может быть геометрически осуществлено в двух случаях (рис. Р.1.3, а), т. е. когда треугольник либо правильный, либо равнобедренный тупоугольный (докажите). Решить эту задачу можно сразу для обоих случаев. На рис. Р.1.3, б изображены треугольник ABC и треугольник А1В1С1, составленные из средних линий первого треугольника. Треугольник А1В1С1 подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия половина. Следовательно, радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, относятся как один к двум.
1.4. Если сторона а треугольника ABC биссектрисой АА1 разделена на отрезки а1 и а2, то можно записать следующие соотношения (рис Р. 1.4.):
Решая эту систему уравнений относительно a1 и а2, получим
Вычислим аналогично отрезки, на которые разделены стороны b и с треугольника ABC:
Так как отношение площадей треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, между которыми лежит этот общий угол, то
Аналогично находим
Теперь найдем отношение
ответ.
1.5. Выразим площадь треугольника ABC через радиус r вписанной окружности и углы А, B и С треугольника.
Признак делимости на 2: на 2 делятся все четные числа, т.е. числа, которые оканчиваются на 2, 4, 6, 8, 0.
Признак делимости на 3: на 3 делятся все числа, сумма цифр которых делится на 3.
1) 1356 на 2 делится, так как 1356 четное число.
2) 7361 на 3 не делится, так как сумма цифр числа 7 + 3 + 6 + 1 = 17, 17 на 3 не делится.
3) 4957 на 2 не делится, так как 4957 нечетное число.
4) 7263 на 2 не делится, так как 7263 нечетное число.
5) 8151 на 3 делится, так как сумма цифр числа 8 + 1 + 5 + 1 = 15, 15 делится на 3.
6) 9751 на 2 не делится, так как 9751 нечетное число.
х+у=3500
х-у=420 Решим систему
х=420+у (из 2-го ур-ия) (подставим в 1-е)
420+у+у=3500
2у=3500-420
2у=3080
у=3080:2
у=1540 (подставим в 1-е ур-ие)
х+1540=3500
х=3500-1540
х=1960
ответ: первое число 1960, второе 1540
Или так:
3500:100%*12%=420
(3500-420):2=3080:2=1540 (меньшее число)
3500-1540=1960 (большее число)