Пусть длина палки равна 1. По условию задачи, если взять любые три кусочка, то сумма длин двух наименьших из них не больше длины самого длинного из них. Расположим кусочки в порядке убывания их длин: Требуется доказать, что
Предположим противное, то есть что
По условию
При этом
Идем по цепочке дальше. По условию
, при этом
. Продолжая этот процесс, получаем
Суммируя, получаем
Полученное противоречие (ведь сумма длин кусочков должна равняться 1) доказывает требуемое утверждение.
Замечание. Для тех, кто устал от этих выкладок - простое рассуждение без чисел. Первый (самый длинный кусок) лежит в первой трети отрезка [0;1]. Остаются две трети отрезка [0;1]. Пусть это отрезок [b;c]. Второй и третий куски лежат в его первой половине, а поскольку третий занимает не больше половины места, четвертый и пятый займут не больше половины от правой половины, и так далее. Сами додумайте до конца.
2) 15 200 + 8 780 = 23 980 (г) - учні першої і другої шкіл разом
3) 23 980 - 9 420 = 14 560 (г) - учні третьої школи
4) 23 980 + 14 560 = 38 540 (г) - здали всього
Відповідь: 38 кг 540 г шипшини здали учні трьох шкіл.