В условии ошибка. Правильное условие:
Докажите тождество:
cos²(45° + α) - cos²(30° - α) + sin15° · sin(75° - 2α) = - sin2α
Пошаговое объяснение:
Преобразуем левую часть.
Воспользуемся формулой понижения степени: cos²α = (1 + cos2α)/2
(1 + cos(90° + 2α))/2 - (1 + cos(60° - 2α))/2 + sin15° · sin(75° - 2α) =
= 1/2 + 1/2 · cos(90° + 2α) - 1/2 - 1/2 · cos(60° - 2α) + sin15° · sin(75° - 2α) =
= 1/2(cos(90° + 2α) - cos(60° - 2α)) + sin(90° - 75°) · sin(90° - (15° + 2α)) =
Формула преобразования разности косинусов в произведение:
cosα - cosβ = - 2 · sin ((α + β)/2) · sin ((α - β)/2)
=1/2 · (- 2 sin75° · sin(15° + 2α)) + cos75° · cos(15° + 2α) =
= cos75° · cos(15° + 2α) - sin75° · sin(15° + 2α) =
а это формула косинуса суммы
= cos(75° + 15° + 2α) = cos(90° + 2α) =
по формуле приведения
= - sin2α
Тождество доказано.
