Question

Y=x3-3x2-1 . для данной функции y=f(x) найдите: a) область определения функции d(f). b) производную и критические точки. c) промежутки монотонности. d) точки экстремума и экстремумы функции. e) точки пересечения графика функции с осями координат и дополнительные точки. f) постройте график функции.

Answer 1

Дана  функция y=x3-3x2-1 . 
Для данной функции y=f(x) найдите:
a) Область определения функции D(f) = ∈ R.
b) Производную и критические точки.
y' = 3x² - 6x = 3x(x - 2).
Отсюда получаем критические точки, при которых производная равна нулю: х = 0 и х = 2.
c) Промежутки монотонности.
Находим значения производной вблизи критических точек.
х = -1, y' = 3*1 - 6*(-1) = 3+6 = 9
x = 1,  y' = 3*1 - 6*1= 3-6 = -3.
х = 3,   y' = 3*9 - 6*3= 27-18 = 9..
На промежутке (-∞;0] и [2;+∞), где производная положительна - там функция возрастает, где производная отрицательна [0;2] - функция убывает.
d) Точки экстремума и экстремумы функции.
В точках, где производная меняет знак с + на -, там максимум функции
(х=0; у=-1), где меняет знак с - на + (х=2; у=-5), там минимум.
e) Точки пересечения графика функции с осями координат и дополнительные точки.
х = 0,  у = -1.
у = 0, х³ - 3х² - 1 = 0.
Решение кубического уравнения даёт один реальный корень: х ≈ 3,1038.
Дополнительная точка - точка перегиба графика.
Находим вторую производную: y'' = 6x - 6 = 6(x - 1) и приравниваем нулю.
Получаем х = 1 это точка перегиба графика.
f) Постройте график функции - он дан в приложении.