Question

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z(x; y)=13x+11y-xy-x^2-y^2 в области , ограниченной линиями x=0, x=4,y=0,y=4

Answer 1

Пусть в данной функции x будет аргументом, а y — параметром:

$f(x)=-x^2+(13-y)x-y^2+11y$

Это парабола, ветви направлены вниз. Её вершина $x_0=\dfrac{13-y}{2}$. Так как $0\leq y\leq 4$, $4{,}5\leq \dfrac{13-y}{2}=x_0\leq 6{,}5$. То есть при $0\leq x\leq 4$ функция возрастает при любом допустимом y.

Тогда максимальное значение достигается при x = 4. Подставим это значение в исходную функцию:

$f(4)=-y^2+7y+36$

Это парабола, ветви направлены вниз. Её максимальное значение достигается в её вершине: $y_0=3{,}5$. Тогда максимальное значение всей функции при заданных ограничениях достигается в точке (4; 3,5) и равно 48,25.

Минимальное значение достигается при x = 0. Аналогично получаем $f(0)=-y^2+11y$.

Это парабола, ветви направлены вниз. Так как её вершина $y_0=5{,}5$, при заданных y функция возрастает. Её наименьшее значение достигается при y = 0. Значит, наименьшее значение всей функции при заданных ограничениях достигается в точке (0; 0) и равно нулю.

ответ: наибольшее — 48,25; наименьшее — 0.