Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А(9,5,5) В(-3,7,1) С(5,7,8) Д(6,9,2) и его высоту, опущенную из вершины Д на грань АВС.
Даны координаты пирамиды: A(9,5,5), B(-3,7,1), C(5,7,8), D(6,9,2)
Находим координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = -3-9; Y = 7-5; Z = 1-5
AB(-12;2;-4)
AC(-4;2;3)
AD(-3;4;-3).
Найдем площадь грани АВС с учётом геометрического смысла векторного произведения:
Векторное произведение:
i j k
-12 2 -4
-4 2 3 =
=i(2·3-2·(-4)) - j((-12)·3-(-4)·(-4)) + k((-12)·2-(-4)·2) = 14i + 52j - 16k.
Получен нормальный вектор плоскости АВС, равный (14; 52; -16).
Площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения.
S = (1/2)√(14² + 52² + 16²) = (1/2)√(196 + 2704 + 256) = (1/2)√3156 = √789 ≈ 28,0891.
Теперь находим смешанное произведение векторов (АВхАС)*AD.
14 52 -16
(-3 4 -3
-42 + 208 + 48 = 214.
Объём пирамиды равен (1/3) модуля векторного произведения(АВхАС)*AD.
V = (1/6)*214 = 214/6 = 107/3 куб. ед.
Высоту H из точки D на плоскость АВС найдём по формуле:
H = 3V/S(ABC) = 3*(107/3)/(√789) = 3,8093.
Периметр прямоугольника равен 30+2=32см