Два белых медведя поплыли одновременно навстречу друг другу с двух льдин, растояние между которыми 100дм. - id672918320221010 от Adriet 10.10.2022 14:57

Question

Математика: Два белых медведя поплыли одновременно навстречу друг другу с двух льдин, растояние между которыми 100дм. первый плыл со скоростью 30 дм/с, второй-со скоростью 20дм/с. какое росстаяние до встречи проплыл каждый?

Adriet · Accepted Answer

Лемма: существует такое y-значное число вида XX...X (т.е. состоит из целиком из цифр X) такое, что оно делится на число 1987

Доказательство: число указанного вида можно представить в виде

$x\times\frac{10^{n+1}-1}{9}$ ; Сперва очевидно, что $10^{n+1}-1$ делится на 9. Согласно малой теореме Ферма $10^{1987-1}-1\equiv0 \mod 1987$ , так как 1987 - число простое. Так как 9 и 1987 взаимно просты, то число XX...X делится на 1987 для n+1=1986, т.е. для n=1985. $\square$

Итак, взяв например n=1985 получим число 1...19...98...86...6, которое раскладывается как $1...1\times 10^{3n}+9...9\times10^{2n}+8...8\times10^{n}+6...6$ , где каждое из чисел вида X...X делится на 1987

MOGZ ответил