![\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} dx=[x=\frac{1}{cost},\; dx=\frac{sint}{cos^2t}\, dt,\; x^2-1=\frac{1}{cos^2t}-1=tg^2t]=\\\\=\int \frac{\sqrt{tg^2t}}{1/cost}\cdot \frac{sint}{cos^2t} dt=\int \frac{sint}{cost\cdot \frac{1}{cost}} \cdot \frac{sint}{cos^2t} dt=\int \frac{sin^2t}{cos^2t} dt=\\\\=\int \frac{1-cos^2t}{cos^2t} dt=\int (\frac{1}{cos^2t}-1)dt=tgt-t+C=\\\\=tg(arccos\frac{1}{x})-arccos\frac{1}{x}+C=](/tpl/images/0675/2833/49693.png)
![=[tg(arccosA)=\frac{\sqrt{1-A^2}}{A},\; A=\frac{1}{x},\;1-(\frac{1}{x})^2=\frac{x^2-1}{x^2}]=](/tpl/images/0675/2833/1f953.png)
Сделаем замену a = x + y, b = xy
Тогда первое уравнение будет иметь вид a + b = 5.
Рассмотрим второе уравнение.
x^2 + xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 - xy = (x + y)^2 - xy
Тогда второе уравнение будет выглядеть так: a^2 - b = 7.
Получаем систему:
a + b = 5,
a^2 - b = 7.
Из первого уравнения b = 5 - a. Подставляем полученное во второе уравнение:
a^2 - 5 + a = 7
a^2 + a - 12 = 0
Его корни a = -4 и a = 3. Тогда b = 9 и b = 2.
Делаем обратную замену.
Первая система:
x + y = -4,
xy = 9.
Эта система не имеет решений.
Вторая система:
x + y = 3,
xy = 2.
Она имеет решения (1;2) и (2;1)
Получаем два ответа: (1;2) и (2;1).
а, b и с - это длины сторон треугольника., значит выполняются неравенства:
a+b>c>0, a+c>b>0, b+c>a>0
a^2+2ac+c^2>b^2
ах^2+bx-c=0
D=b^2+4ac
x1=(-b+корень(b^2+4ac))/(2a)>=(-b+b)/(2a)=0
нужно еще доказать что x1<=1
т.е. (-b+корень(b^2+4ac))/(2a)<=1
-b+корень(b^2+4ac)<=2a
корень(b^2+4ac))<=2a+b
(обе части неотрицательны, поднесем к квадрату, получим равносильное неравенство)
b^2+4ac<=4a^2+4ab+b^2
4ac<=4a^2+4ab
ac-ab<=a^2
c-b<=a
c<=a+b (что верно как неравенство треугольника)
далее теперь осталось доказать что второй корень не попадает в промежуток [0;1]
докажем что x2<0
x2=(-b-корень(b^2+4ac))/(2a)<0 , что очевидно так в знаменателе неотрицательное число 2а, а в числителе отрицательное.
Доказано
