Question

Решить уравнение: cos3x = 1 + sin3x

Answer 1

Формула дополнительного угла:

$a\sin kx\pm b\cos kx=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(kx\pm\arcsin\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$

Применяя эту формулу для нашего примера, мы получим:

$\sin 3x-\cos 3x=-1\\ \\ \sqrt{1^2+1^2}\sin \left(3x-\arcsin\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}\right)=-1\\ \\ \sqrt{2}\sin \left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=-1\\ \\ \sin \left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ 3x-\frac{\pi}{4}=(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ \boxed{\boldsymbol{x=(-1)^{k+1}\cdot\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3},k \in \mathbb{Z}}}$

Answer 2

π/12 + (-1)^(n+1)•π/12 +πn/3, где n∈ Z.

Пошаговое объяснение:

cos3x = 1 + sin3x

cos3x - sin3x = 1

Разделим обе части равенства на √2, получим:

1/√2•cos3x - 1/√2•sin3x = 1/√2;

sin(π/4)•cos3x - cos(π/4)•sin3x = 1/√2

sin(π/4 - 3x) = 1/√2

sin(3x - π/4) = -1√2

3x - π/4 = (-1)^n•arcsin(-1/√2) + πn, где n∈ Z

3x = π/4 + (-1)^(n+1)•arcsin(1/√2) + πn, где n∈ Z

3x = π/4 + (-1)^(n+1)•π/4 + πn, где n∈ Z

x = π/12 + (-1)^(n+1)•π/12 + πn/3, где n∈ Z.

(Уравнение имеет вид

а•sinx + b•cosx = c.

Для его решения выполнено деление обеих частей равенства на число, равное √(а^2 +b^2).

В нашем случае а = -1, b = 1, √(а^2 +b^2) = √(1+1) = √2.)