Question

При якому значенні параметра а рівняння (|x|-2)(|x|-4)=2-a має три розв'язки?

Answer 1

a=-6

Пошаговое объяснение:

(|x|-2)(|x|-4)=2-a

(|x|-2)(|x|-4)-2+a=0

рассмотрим функцию f(x)=(|x|-2)(|x|-4)-2+a

Она непрерывна на всей числовой оси.

f(-x)=(|-x|-2)(|-x|-4)-2+a=(|x|-2)(|x|-4)-2+a=f(x) ⇒ функция четная.

Если четная функция имеет НЕчетное количество корней, то один из них обязательно будет 0.

для уравнения: (|x|-2)(|x|-4)=2-a, при х=0, получаем

(0-2)(0-4)=2-a

-2*(-4)=2-a

8=2-a

a=2-8

a=-6 - при таком значении a уравнение имеет нечетное число различных корней.

Проверим, будет ли их ровно 3:

$(|x|-2)(|x|-4)=2+6 \\ \\(|x|-2)(|x|-4)=8 \\ \\ \left[ \begin{gathered} \left\{\begin{matrix}x\geq 0;\\ (x-2)(x-4)=8; \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{\begin{matrix}x\geq 0;\\ x^2-6x=0; \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{\begin{matrix}x\geq 0;\\ \left[ \begin{gathered}x=0 \\x=6 \end{gathered} \right. ; \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x$

Действительно, при a=-6 получилось 3 корня!

ответ: a=-6