Question

Посчитать неопределенный интеграл: ∫, причем используя следующее условие для решения: (t=tg)

Answer 1

$\sin x = \frac{2\tan (x/2)}{1+\tan^2 (x/2)} = \frac{2t}{1+t^2}\\ \cos x = \frac{1-\tan^2 (x/2)}{1+\tan^2 (x/2)} = \frac{1-t^2}{1+t^2}\\ dt = \frac{dx/2}{\cos^2(x/2)} = \frac{dx}{2}(1+t^2)\\\\ 5-4\sin x+3\cos x = \frac{5(1+t^2)-8t+3(1-t^2)}{1+t^2} = \frac{2t^2-8t+8}{1+t^2} = 2\frac{(t-2)^2}{1+t^2}\\\\ \int(5-4\sin x+3\cos x)dx = \int \frac{dt}{(t-2)^2} = -\frac{1}{t-2} +C = \frac{1}{2-\tan(x/2)}+C$