Question

По определению, n ! = 1 х 2 х 3 ? n . какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! х 2! х 3! х 20! , чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?

Answer 1

10!

Пошаговое объяснение:

Расставим скобки, собрав пары соседних сомножителей:

$1!\cdot2!\cdot3!\cdot4!\cdots19!\cdot20!=(1!\cdot2!)\cdot(3!\cdot4!)\cdots(19!\cdot20!)=\star$

Каждая скобка представляет собой произведение вида

$n!\cdot(n+1)!=n!\cdot(1\cdot2\cdot3\cdots n\cdot(n+1))=n!\cdot n!\cdot(n+1)=(n!)^2\cdot(n+1)$

Тогда

$\star=(1!)^2\cdot2\cdot(3!)^2\cdot4\cdot(5!)^2\cdot6\cdots(19!)^2\cdot20=(1!\cdot3!\cdots19!)^2\times\\\times(2\cdot4\cdot6\cdots20)=\heartsuit$

Первый множитель представляет собой полный квадрат, во втором все сомножители делятся на 2:

$2\cdot4\cdot6\cdots20=(2\cdot1)\cdot(2\cdot2)\cdots(2\cdot10)=2^{10}\cdot(1\cdot2\cdots10)=2^{10}\cdot10!$

Таким образом,

$\heartsuit=(1!\cdot3!\cdots19!)^2\cdot2^{10}\cdot10!=(1!\cdot3!\cdots19!\cdot2^5)^2\cdot10!$

Чтобы выражение осталось полным квадратом, достаточно вычеркнуть 10!.