Question

Наступает 2017-й. а какая последняя цифра у числа 2^17 (в семнадцатой степени)?

Answer 1

$2017$ - нечётное число.

Посмотрим на следующие числа:

$2^{1}=2\\\\2^{3}=8\\\\2^{5}=32\\\\2^{7}=128$

Т.е. всегда при нечётной степени, последняя цифра будет равна либо 2 либо 8.

Осталось найти конечную цифру у $2^{2017}$.

Сделаем так:

Что такое 1? $1=2\cdot 0+1$ - 0 чётное число. $2^1=2$.
Что такое 3? $3=2\cdot 1+1$ - 1 нечётное число. $2^3=8$
Что такое 5? $5=2\cdot 2+1$ - 2 чётное число. $2^5=32$
Что такое 7? $7=2\cdot 3+1$ - 3 нечётное число. $2^7=128$

Следовательно, если в представлении нечётной степени ($2n+1$)- $n$ чётно, то $2^{2n+1}$ будет оканчиваться на 2. Если нечётно, то будет оканчиваться на 8.

$2017=2n+1 \Rightarrow n=2016:2 \Rightarrow n=1008$ - следовательно $2^{2017}$ оканчивается на 2.

Answer 2

$2^1=2\\2^2=4\\2^3=8\\2^4=16\\2^5=32\\2^6=64\\2^7=128\\2^8=256\\2^9=512\\2^{10}=1024$
заметил закономерность? 
2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6 и так далее. Выходит, мы должны посчитать, какая цифра будет семнадцатой. 2, 4, 8, 6 – 4 цифры, значит шестнадцатая цифра будет точно равна шести. Цифра, идущая следом за шестёркой, это начало цепочки (2, 4, 8, 6), то бишь двойка. 

ответ: 2.