Объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f(x) (a ≤ x ≤ b), Осью Ox и прямыми x= a и x = b, вычисляется по формуле:
Аналогично, объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = φ(x) (c ≤ x ≤ d), Осью Ox и прямыми y= c и y = d, находится по формуле:
ПРИМЕР №1. Вычислить объемы фигур, образованных вращением площадей, ограниченных указанными линиями.
y2 = 4x; y = 0; x = 4.
Пределы интегрирования a = 0, b = 4.
ПРИМЕР №2. y2 = 4x; y = x
Выполним построение фигуры. Решим систему:
y2 = 4x
y = x
найдем точки пересечения параболы и прямой: O(0;0), A(4;4).
Следовательно, пределы интегрирования a = 0; b = 4. Искомый объем представляет собой разность объема V1 параболоида, образованного вращением кривой y2 = 4x , и о объема V2 конуса, образованного вращением прямой y = x:
V = V1 – V2 = 32π – 64/3 π = 32/3 π
см. также как вычислить интеграл онлайн
ПРИМЕР №3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оx фигуры, ограниченной прямой y=x и параболой .
Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение . Получим x1=0, x2=1.
Рис. 2. Объем тела вращения.
Объем тела может быть вычислен по формуле , где
, f2(x)=x.
.
ответ: .
см. также Площадь фигуры, ограниченной линиями: Площадь фигуры, ограниченной линиями
5. 21 км проплывет лодка за 3 часа по течению
6. через 5 часов расстояние между ними будет 700км
7. 959
8. 1 500 г яблок
9. 17 кг конфет в одной коробке и 51 кг конфет в другой коробке
Пошаговое объяснение:
5. 3 * (5 + 2) = 3 * 7 = 21 км проплывет лодка за 3 часа по течению
5 + 2 = 7 км/час скорость по течению
7 * 3 = 21 км проплывет лодка за 3 часа по течению
6. 60 + 80 = 140 км/час скорость удаления друг от друга
700 : 140 = 5 часов расстояние между ними будет 700км
7. 33696 : 78 + 43*31 - 806 = 432 + 1 333 - 806 = 959
8. 600 грамм составляют 2 части в компоте
600 : 2 = 300 (г) - одна часть
300 * 5 = 1 500 (г) потребуется яблок
9. Отношение конфет в одной коробке к конфетам в другой запишем как 1 : 3 (в другой в 3 раза больше)
1 + 3 = 4 части составляют все конфеты.
68 : 4 = 17 кг составляет одна часть
17 * 1 = 17 кг конфет в одной коробке
17 * 3 = 51 кг конфет в другой коробке коробке
Или решение уравнением:
х кг в одной коробке, 3х в другой коробке
Составим уравнение:
х + 3х = 68
4х = 68
х = 68/4
х = 17 кг конфет в одной коробке
17 * 3 = 51 кг конфет в другой коробке коробке
х+х+80=2х+80 км