Гипотенуза ab прямоугольного треугольника abc равна x. произвольная точка m на катете bc соединена с вершиной a, а точка h на катете ac соединена с вершиной b. найдите длину отрезка mh, если am(в квадрате) +bh(в квадрате) =y(в квадрате)
Соединим вершину треугольника А с точкой М и вершину В с точкой Н. Из прямоугольного треугольника НСМ: МH^2=CH^2+CM^2. Из прямоугольного треугольника ACM: CM^2=AM^2-AC^2. Из прямоугольного треугольника BCH: CH^2=BH^2-BC^2. Поэтому МH^2 = AM^2-AC^2+BH^2-BC^2 = AM^2+BH^2-(AC^2+BC^2). По условиям задачи AM^2+BH^2=y^2. Из прямоугольного треугольника АВС: AC^2+BC^2=AB^2=x^2. Поэтому МH^2=y^2-x^2; MH=.
Пусть имеется n чисел. В нашем случае n=2016. Пусть среди них имеется k отрицательных и, соответственно, n-k положительных. Количество отрицательных произведений равно k(n-k) т.к. каждое такое произведение получилось от умножения отрицательного на положительное. Всего было =n(n-1)/2 произведений. Значит, надо доказать, что k(n-k)/(n(n-1)/2)≤2/3 для любого k=0,...,n. Т.к. парабола k(n-k) достигает максимума при k=n/2, то для n≥4 получим k(n-k)/(n(n-1)/2)≤2(n/2)²/(n(n-1))=n/(2(n-1))≤4/(2·3)=2/3. Что и требовалось.
=n(n-1)/2 произведений. Значит, надо доказать, что k(n-k)/(n(n-1)/2)≤2/3 для любого k=0,...,n. Т.к. парабола k(n-k) достигает максимума при k=n/2, то для n≥4 получим
Из прямоугольного треугольника НСМ: МH^2=CH^2+CM^2.
Из прямоугольного треугольника ACM: CM^2=AM^2-AC^2.
Из прямоугольного треугольника BCH: CH^2=BH^2-BC^2.
Поэтому МH^2 = AM^2-AC^2+BH^2-BC^2 = AM^2+BH^2-(AC^2+BC^2).
По условиям задачи AM^2+BH^2=y^2.
Из прямоугольного треугольника АВС: AC^2+BC^2=AB^2=x^2.
Поэтому МH^2=y^2-x^2;
MH=