Отношение двух чисел — это частное от деления одного из них на другое. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго. Если значения двух величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения. Взаимно обратными называют числа, произведение которых равно 1 где Обратное отношение — это отношение, взятое в обратном порядке по отношению к данному. Отношение b/a называют обратным отношению a/b. Пропорция — это равенство двух отношений. В пропорции (или a : b = с : d) числа a и d называют крайними, а числа b и с — средними членами пропорции. Основное свойство пропорции. В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению её средних членов. Если для двух отношений a : b и с : d выполняется равенство ad = bс, то a : b = с : d — верная пропорция. Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции верны. Перестановка членов пропорции:
Производные пропорции. Дана пропорция, справедливы следующие пропорции:
Нахождение части от числа Пример 1. Найти часть 5/16 от числа 800. Решение. Если вы забыли, какое действие надо сделать, существует такой прием. Разберемся с «половиной», т. е. 1/2 числа, на примере, который составим сами. Например, 1/2 от 800 мы понимаем, что это 400. 800? 1/2 = 400. Какое действие мы сделали? Нетрудно догадаться, что это умножение. Тогда легко найдем 5/16 от 800 как 800 · 5/16 = 250. ответ: Нахождение числа по его части Пример 2. Найти все число, если его 7/15 равны 210. Решение. Выясним с половины», т. е. 1/2 числа, какое действие мы должны сделать. Пусть, например, надо найти число, если его половина равна 300. Очевидно, что это число 600. Какое действие мы сделали? 300? 1/2 = 600. Можно догадаться, что это деление. Тогда легко найдем чему равно все число, если его 7/15 равны 210: 210 : 7/15 = 210 ·15 : 7 = 450. ответ: Пример 3. Отношение с к d равно 7/9. Найдите их обратное отношение. 1) - 7/9;2) ; 3) 0,8;4) 1,4. Решение. Отношением, обратным к 7/9, является . Из предложенных ответов верным является 2). ответ: Пример 4. Масса печенья 15 кг, а масса упаковки 600 г. Найдите отношение массы печенья к массе упаковки. 1) 15/600;2)5/6; 3)1/25;4)25. Решение. 600 г = 0,6 кг. Отношение массы печенья к массе упаковки равно 15/0,6 = 150/6 = 25. Из предложенных ответов верным является 4). ответ: Пример 5. Из каких отношений А = 4,8 : 0,9; Б = 1,6 : 0,3; В = 0,48 : 0,9; Г = 25 : 12 можно составить пропорцию? 1) А и Б; 2) Б и В; 3) А и В; 4) Б и Г. Решение. Проверим предложенные отношения на выполнение основного свойства пропорции. 1)Для отношений А и Б произведение крайних членов 4,8·0,3 = 1,44; произведение средних членов 0,9 · 1,6 = 1,44; 1,44 = 1,44. Следовательно, из этих отношений можно составить пропорцию. 2)Для отношений Б и В произведение крайних членов 1,6·0,9 = 1,44; произведение средних членов 0,3 · 0,48 = 0,144; 1,44 0,144. Следовательно, из этих отношений нельзя составить пропорцию. 3)Для отношений А и В произведение крайних членов 4,8·0,9 = 4,32; произведение средних членов 0,9 · 0,48 = 0,432; 4,32 0,432. Следовательно, из этих отношений нельзя составить пропорцию. 4)Для отношений Б и Г произведение крайних членов 1,6· 12 = 19,2, произведение средних членов 0,3· 25 = 7,5; 19,2 7,5. Следовательно, из этих отношений нельзя составить пропорцию. Из предложенных ответов верным является 1). ответ: Пример 6. Из пропорции 20 : 15 = 16 : 12 составлены 4 равенства, укажите верное. 1) 15 : 20 = 16 : 12; 2) 20 : 12 = 15 : 16; 3) 12 : 16= 15 : 20; 4) 20 : 16 = 12 : 15. Решение. Заданная пропорция останется верной, если в ней поменять местами средние или крайние члены.
Допустим, в какой-то момент малыш Федя обгоняет Соню на ходулях. Отметим это место специальной меткой, как условное начало круга. Как только он обгоняет Соню, он понимает, что (теперь уже) она – впереди него на расстоянии длины круговой дорожки (фактически она почти впритык позади него, но ведь дорожка круговая (!), а значит, Соня, как бы и впереди на расстоянии длины дорожки).
Пускай теперь до нового места встречи Соня пройдёт от метки какую-то часть круговой дорожки, назовём это «кусок дорожки», а малыш Федя до этого нового места встречи проедет на велосипеде целый круг и ещё такую же часть дорожки, т.е. такой же «кусок», как и Соня.
Новое место встречи, таким образом, сместилось от начальной метки на «кусок дорожки».
После второй встречи, Федя опять обгонит Соню и потом опять встретится с ней уже в третий раз со смещением ещё на один «кусок дорожки» от предыдущего места встречи, которое и так уже было смещено от начальной метки на «кусок дорожки», стало быть, третья встреча сместится от начальной метки на «два куска дорожки».
Второе место встречи сместилось от начальной метки на «кусок дорожки», а Федя проехал лишний круг.
Третье место встречи сместилось от начальной метки на «два куска дорожки», а Федя проехал два лишних круга.
Четвёртое место встречи сместится от начальной метки на «три куска дорожки», а Федя проедет три лишних круга.
Пятое место встречи сместится от начальной метки на «четыре куска дорожки», а Федя проедет четыре лишних круга.
Заметим, что если бы Соня к пятому месту встречи, смещённому от начальной метки на «четыре куска дорожки бы целый круг, то тогда Федя проехал бы 4 лишних круга и ещё «четыре куска дорожки», т.е. такое же расстояние, как и Соня, а значит ещё один добавочный круг.
И в таком случае, получилось бы, что Соня один круг, а Федя проехал пять кругов, что как раз и сходится с их соотношением скорости. Всё правильно, Федя ведь ездит в 5 раз быстрее, а значит, он и должен проехать в 5 раз больше, чем проходит Соня!
Значит, наше предположение верно. К пятой встрече Соня проходит полный круг, а стало быть, она приходит к начальной метке, которую мы отметили в месте первой встречи, т.е. место пятой встречи совпадает с местом первой встречи. Дальнейшие встречи станут совпадать со встречами в первом цикле рассуждений. Таким образом, всего существует 4 разных места, где Федя обгоняет Соню.
Так же, эту задачу можно решить и «аналитически», через введение неизвестного параметра скорости, и рассмотрения относительной скорости участников, т.е. скорости сближения.
Пусть скорость Сони равна Тогда скорость Феди равна Когда Федя догоняет Соню, их скорость сближения равна (вычитаем, поскольку Соня уходит от догоняющего её Феди, тем самым, как бы мешая ему себя догонять).
Когда Федя в очередной раз обгоняет Соню, его удалённость от Сони, которую он встретит в будущем, в следующем месте обгона, составляет как раз один круг. За время, пока Федя доедет до нового обгона Сони, Соня пройдет по круговой дорожке в 4 раза меньшее расстояние, поскольку её скорость в 4 раза меньше скорости сближения.
Из этого и следует, что за время между двумя очередными последовательными встречами, которые разделяют участников движения расстоянием в один круг, Соня проходит только четверть круговой дорожки. Значит за 4 дополнительные встречи (после первой начальной) она и пройдёт полный круг. Т.е. всего существует 4 места, в которых малыш Федя обгоняет Соню на ходулях.
Тогда скорость Феди равна 
Когда Федя догоняет Соню, их скорость сближения равна 
(вычитаем, поскольку Соня уходит от догоняющего её Феди, тем самым, как бы мешая ему себя догонять).
Если значения двух величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения.
Взаимно обратными называют числа, произведение которых равно 1
где
Обратное отношение — это отношение, взятое в обратном порядке по отношению к данному. Отношение b/a называют обратным отношению a/b.
Пропорция — это равенство двух отношений.
В пропорции (или a : b = с : d) числа a и d называют крайними, а числа b и с — средними членами пропорции.
Основное свойство пропорции. В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению её средних членов. Если для двух отношений a : b и с : d выполняется равенство ad = bс, то a : b = с : d — верная пропорция.
Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции верны.
Перестановка членов пропорции:
Производные пропорции.
Дана пропорция, справедливы следующие пропорции:
Нахождение части от числа
Пример 1.
Найти часть 5/16 от числа 800.
Решение.
Если вы забыли, какое действие надо сделать, существует такой прием. Разберемся с «половиной», т. е. 1/2 числа, на примере, который составим сами. Например, 1/2 от 800 мы понимаем, что это 400.
800? 1/2 = 400. Какое действие мы сделали? Нетрудно догадаться, что это умножение.
Тогда легко найдем 5/16 от 800 как 800 · 5/16 = 250.
ответ:
Нахождение числа по его части
Пример 2.
Найти все число, если его 7/15 равны 210.
Решение.
Выясним с половины», т. е. 1/2 числа, какое действие мы должны сделать. Пусть, например, надо найти число, если его половина равна 300. Очевидно, что это число 600. Какое действие мы сделали?
300? 1/2 = 600. Можно догадаться, что это деление. Тогда легко найдем чему равно все число, если его 7/15 равны 210:
210 : 7/15 = 210 ·15 : 7 = 450.
ответ:
Пример 3.
Отношение с к d равно 7/9. Найдите их обратное отношение.
1) - 7/9;2) ; 3) 0,8;4) 1,4.
Решение.
Отношением, обратным к 7/9, является . Из предложенных ответов верным является 2).
ответ:
Пример 4.
Масса печенья 15 кг, а масса упаковки 600 г. Найдите отношение массы печенья к массе упаковки.
1) 15/600;2)5/6; 3)1/25;4)25.
Решение.
600 г = 0,6 кг. Отношение массы печенья к массе упаковки равно 15/0,6 = 150/6 = 25. Из предложенных ответов верным является 4).
ответ:
Пример 5.
Из каких отношений А = 4,8 : 0,9; Б = 1,6 : 0,3; В = 0,48 : 0,9; Г = 25 : 12 можно составить пропорцию?
1) А и Б; 2) Б и В; 3) А и В; 4) Б и Г.
Решение.
Проверим предложенные отношения на выполнение основного свойства пропорции.
1)Для отношений А и Б произведение крайних членов 4,8·0,3 = 1,44; произведение средних членов 0,9 · 1,6 = 1,44; 1,44 = 1,44. Следовательно, из этих отношений можно составить пропорцию.
2)Для отношений Б и В произведение крайних членов 1,6·0,9 = 1,44; произведение средних членов 0,3 · 0,48 = 0,144; 1,44 0,144. Следовательно, из этих отношений нельзя составить пропорцию.
3)Для отношений А и В произведение крайних членов 4,8·0,9 = 4,32; произведение средних членов 0,9 · 0,48 = 0,432; 4,32 0,432. Следовательно, из этих отношений нельзя составить пропорцию.
4)Для отношений Б и Г произведение крайних членов 1,6· 12 = 19,2, произведение средних членов 0,3· 25 = 7,5; 19,2 7,5. Следовательно, из этих отношений нельзя составить пропорцию.
Из предложенных ответов верным является 1).
ответ:
Пример 6.
Из пропорции 20 : 15 = 16 : 12 составлены 4 равенства, укажите верное.
1) 15 : 20 = 16 : 12;
2) 20 : 12 = 15 : 16;
3) 12 : 16= 15 : 20;
4) 20 : 16 = 12 : 15.
Решение.
Заданная пропорция останется верной, если в ней поменять местами средние или крайние члены.