Пошаговое объяснение:
y = (1/3)*x³ - x
Необходимое условие экстремума функции f'(x₀) = 0
таким образом ищем критические точки
y' = x²-1
x²-1 = 0 ⇒ х₁ = 1; х₂= -1
имеем две критические точки. (два экстремума)
теперь надо выяснить, кто из них минимум, а кто максимум.
для этого посмотрим на достаточное условие
если в точке x₀ выполняется условие:
f'(x₀) = 0
f''(x₀) > 0
то точка x₀ является точкой минимума функции.
если в точке x₀
f'(x₀) = 0
f''(x₀) < 0
то точка x₀ - точка максимума.
y'' = 2x
y''(-1) = -2 < 0 - значит точка x = -1 точка максимума функции. (f(-1) = 2/3)
y''(1) = 2 > 0 - значит точка x = 1 точка минимума функции. f(1) = -2/3)
Пошаговое объяснение:
С второй производной можно провести гораздо большее исследование, что и сделаем -
ДАНО:Y(x) = -2*x³ + 3*x².
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения D(y) ∈ R, Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.
2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.
3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.
k = lim(+∞) Y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.
4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.
5. Пересечение с осью OХ.
Применим теорему Безу. х₁ *х₂ *х₃ = 0
Разложим многочлен на множители. Y=(x-0)*(x-0)*(x-1,5)
Нули функции: Х₁ =0, Х₂ =0, Х₃ =1,5
6. Интервалы знакопостоянства.
Положительная - Y(x)>0 X∈(-∞;0]U[0;1,5]
Отрицательная - Y(x)<0 X∈[0;[1,5;+∞)
7. Пересечение с осью OY. Y(0) = 0
8. Исследование на чётность.
В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.
Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x) - не нечётная,
Функция ни чётная, ни нечётная.
9. Первая производная. Y'(x) = -6*x² + 6*x = - 6*х*(х -1) 0
Корни Y'(x)=0. Х₄ =1 Х₅=0
Там где производная отрицательна (вне корней производной) - функция убывает.
10. Локальные экстремумы.
Максимум - Ymax(X₄= 1) =1. Минимум - Ymin(X₅ = 0) =0
11. Интервалы возрастания и убывания.
Убывает Х∈(-∞;0;]U[1;+∞) ,возрастает - Х∈[0;1]
12. Вторая производная - Y"(x) = -12*x + 6 = 0
Корень производной - точка перегиба Х₆=0,5
13. Выпуклая “горка» Х∈(Х₆ = [0,5;+∞)
Вогнутая – «ложка» Х∈[-∞;Х₆ = 0,5).
14. График в приложении.
(1\6 +7\15)- 2\15= 1\6 +(7\15-2\15)= 1\6 + 5\15=1\6 +1\3= 1\6+ 2\6=3\6=1\2 15\16 -3\16 -1\3= 12\16- 1\3= 3\4 - 1\3= 9\12- 4\12=5\12 17\24-5\24-1\5=12\24- 1\5= 1\2 - 1\5=5\10-2\10=3\10