Question

1: найти общее решение уравнения: x*y*dx=(1+x^2)dy 2: найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: (1+y)dx=(1-x)dy; y=3 при x=-2 3: найти частное решение уравнения: y''-5y'=0

Answer 1

$1. xydx=(1+x^2)dy \\ \frac{dy}{y} = \frac{xdx}{x^2+1} \\ \int\frac{dy}{y} = \frac{1}{2} \int \frac{d(x^2+1)}{x^2+1} \\ lny=ln \sqrt{x^2+1} +lnC \\ y=C\sqrt{x^2+1} \\ \\ 2. (1+y)dx=(1-x)dy \\ \frac{dy}{1+y} = \frac{dx}{1-x} \\ \frac{dy}{1+y} = -\frac{dx}{x-1} \\ \int\limits\frac{d(y+1)}{1+y} = - \int\limits\frac{d(x-1)}{x-1} \\ lny=-lnx+lnC \\ y= \frac{C}{x} \\ y(-2)= \frac{C}{-2}=3 \\ C=-6 \\ y=-\frac{6}{x} \\ \\ 3. y''-5y'=0 \\ k^2-5k=0 \\ k(k-5)=0 \\ k_1=0, k_2=5 \\ y=C_1+C_2e^{5x}$