Question

Kak рещат даны координаты вершин пирамида авсд. требуется найти: 1) длину ребра , 2) угол между ребрами и , 3) проекцию вектора на вектор , 4) уравнение прямой ab, 5) уравнение плоскости abc,. сделать чертеж. а (9,5,5); в (-3,7,1); с (5,7,8); д (6,9,2)

Answer 1

Даны вершины пирамиды: А (9,5,5); В (-3,7,1); С (5,7,8); Д (6,9,2).
1)   Расчет длин сторон. 
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²+(Zв-Zа)²)= √164  = 12,8062,
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²+(Zс-Zв)²) = √113 = 10,6301,
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²+(Zс-Zа)²) = √29 = 5,38516,
АД = √((Хд-Ха)²+(Уд-Уа)²+(Zд-Zа)²)= √34 = 5,83095,
BД = √((Хд-Хв)²+(Уд-Ув)²+(Zд-Zв)²) = √86 = 9,27362,
CД = √((Хд-Хс)²+(Уд-Ус)²+(Zд-Zс)²) = √41 = 6,40312.

2) угол между ребрами.
Определяем координаты векторов, которыми являются рёбра пирамиды.
                                                            x      y     z
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} =    -12     2    -4,
Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB} =     8      0      7,
Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} =    -4      2      3,
Вектор AД={xД-xA, yД-yA, zД-zA} =     -3      4     -3,
Вектор BД={xД-xB, yД-yB, zД-zB} =      9      2      1,
Вектор CД={xД-xC, yД-yC, zД-zC} =     1      2      -6.
Угол между рёбрами определяем по формуле:
$cos \alpha= \frac{x_1*x_2+y_1*y_2+z_1*z_2}{L_1*L_2}$
                  cos              радиан                 градусов
< ABC    0.910879        0.425388              24.37293693
< BCA   -0.19216         1.76415518          101.078646
< CAB    0.580015       0.95204948            54.54841706
< ДBА    0.909395       0.42896892            24.57810892
< ДAB    0.74994         0.72282463            41.41480038
< AДB   -0.40685         1.9897991            114.0070907
< BДC    0.117885       1.45263702             83.22997044
< ДCB    0.499514       1.04775851             60.03214053
< CBД    0.80138         0.64119712             36.73788903
< AДC    0.616022       0.907113                 51.97376
< ДСA    0.522013       1.021587                 58.5326
< SAC    0.350311       1.212893                 69.49364   

3) проекцию вектора на вектор
Проекция b на a равна (a · b)/|b|.
АВ =а, ВС = b.

Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = (-12) · 8 + 2 · 0 + 4 · 7 = -96 + 0 + 28 = 
= -68

Найдем модуль вектора:

|b| = √(bx² + by² + bz²) = √(8² + 0² + 7²) = √(64 + 0 + 49) = √113.
Проекция b на a =  -68/√113 ≈ -6,3969019 (это ВС на АВ).

4) уравнение прямой AB.
$\frac{x-9}{-3-9}= \frac{y-5}{7-5}= \frac{z-5}{1-5}$.
Получаем каноническое уравнение:
$\frac{x-9}{-12}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-5}{-4}.$
x+6y-3z-24 = 0  это же уравнение в общем виде.

5) уравнение плоскости ABC.
Уравнение плоскости:
A · x + B · y + C · z + D = 0 .
Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему:
A · x1 + B · y1 + C · z1 + D = 0 ,
A · x2 + B · y2 + C · z2 + D = 0 ,
A · x3 + B · y3 + C · z3 + D = 0 .
Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом:
A · (9) + B · (5) + C · (5) + D = 0 ,
A · (-3) + B · (7) + C · (1) + D = 0 ,
A · (5) + B · (7) + C · (8) + D = 0 .

Получим уравнение плоскости:
- 7 · x - 26 · y + 8 · z + 153 = 0 .

Есть ещё один вариант получения уравнения плоскости по координатам точек:
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
Тогда уравнение определяется по такой формуле:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.