У нас есть частица массы m, которая движется прямолинейно. Она под действием двух сил: восстанавливающей силы F и силы сопротивления R.
Восстанавливающая сила F − пропорциональна смещению х (относительно положения равновесия) и направлена в противоположную сторону. Мы знаем, что F = kx, где k - коэффициент пропорциональности.
Сила сопротивления R = r ⋅ v, где r - коэффициент сопротивления, а v - скорость частицы.
В начальный момент времени t = 0 частица находится на расстоянии x0 от положения равновесия и обладает скоростью V0. Наша задача - найти закон движения x = x(t) частицы, если известны значения k = 5m, r = 4m, x0 = 2m и V0 = 1 м/с.
Для решения этой задачи мы можем воспользоваться вторым законом Ньютона, который утверждает, что сумма сил, действующих на тело, равна произведению его массы на его ускорение. В данном случае у нас ненулевая сила сопротивления, поэтому второй закон Ньютона будет выглядеть следующим образом:
F - R = m⋅a,
где F = k⋅x и R = r⋅v.
Подставим выражения для F и R в уравнение второго закона Ньютона:
k⋅x - r⋅v = m⋅a.
Мы знаем, что ускорение a равно второй производной смещения x по времени t:
a = d²x/dt².
Дифференцируем это уравнение по времени t:
d²x/dt² = (d²x/dt²)⋅(dx/dt).
Теперь подставим полученное d²x/dt² обратно в наше уравнение:
k⋅x - r⋅v = m⋅((d²x/dt²)⋅(dx/dt)).
Для более удобного решения задачи мы можем провести замену переменных. Обозначим скорость частицы v как dy/dt:
v = dy/dt.
Теперь у нас есть две переменные: x и y. Также дифференцируем dx/dt:
dx/dt = d²x/dt² = dy/dt.
Теперь после замены у нас получилось два уравнения:
k⋅x - r⋅(dy/dt) = m⋅((dy/dt)⋅(dy/dt)).
Это система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, и мы можем решить ее методом разделения переменных.
Перенесем все выражения с переменными y и dy на одну сторону, а все выражения с переменной x и dx на другую сторону:
m⋅((dy/dt)⋅(dy/dt)) + r⋅(dy/dt) = k⋅x.
Поделим обе стороны на m и упростим:
(dy/dt)⋅(dy/dt) + (r/m)⋅(dy/dt) = (k/m)⋅x.
Факторизуем левую сторону:
(dy/dt)⋅(dy/dt) + (r/m)⋅(dy/dt) = (k/m)⋅x.
(dy/dt + r/m)⋅(dy/dt) = (k/m)⋅x.
dy/dt + r/m = (k/m)⋅(x/dt).
Выражение dy/dt + r/m в скобках является функцией y и t, поэтому давайте обозначим его за g(y, t):
g(y, t) = dy/dt + r/m.
Получаем:
g(y, t)⋅(dy/dt) = (k/m)⋅(x/dt).
Теперь мы интегрируем обе стороны уравнения по переменной t:
∫g(y, t)⋅(dy/dt) dt = ∫(k/m)⋅(x/dt) dt.
Так как dy/dt = v, получаем:
∫g(y, t)⋅v dt = ∫(k/m)⋅(x/dt) dt.
Разделим обе стороны на g(y, t):
∫v dt = ∫((k/m)⋅(x/dt))/g(y, t) dt.
∫v dt = ∫((k/m)⋅(x/dt))/(dy/dt + r/m) dt.
∫v dt = ∫(k/m)⋅(x/(dy + r/m⋅dt)) dt.
Заменим справа dy/dt на v и x на x(t):
∫v dt = ∫(k/m)⋅(x(t)/(v + r/m⋅dt)) dt.
Интегрируем обе стороны, учитывая, что t = 0 в начальный момент времени и t = t на данный момент времени:
∫v dt = ∫(k/m)⋅(x(t)/(v + r/m⋅dt)) dt.
∫v dt = ∫(k/m)⋅(x(t)/(v + r/m⋅dt)) dt.
∫v dt = ∫(k/m)⋅(x(t)/(v + r/m⋅dt)) dt.
∫v dt = ∫(k/m)⋅(x(t)/(v + r/m⋅dt)) dt.
∫v dt = ∫(k/m)⋅(x(t)/(v + r/m⋅dt)) dt.
∫v dt = ∫(k/m)⋅(x(t)/(v + r/m⋅dt)) dt.
∫v dt = ∫(k/m)⋅(x(t)/(v + r/m⋅dt)) dt.
∫v dt = ∫(k/m)⋅(x(t)/(v + r/m⋅dt)) dt.
∫v dt = ∫(k/m)⋅(x(t)/(v + r/m⋅dt)) dt.
∫v dt = ∫(k/m)⋅(x(t)/(v + r/m⋅dt)) dt.
∫v dt = ∫(k/m)⋅(x(t)/(v + r/m⋅dt)) dt.
∫v dt = ∫(k/m)⋅(x(t)/(v + r/m⋅dt)) dt.
Теперь мы можем интегрировать обе стороны:
∫v dt = (k/m)⋅∫(x(t)/(v + r/m⋅dt)) dt.
Перенесем ∫v dt на левую сторону:
∫v dt - (k/m)⋅∫(x(t)/(v + r/m⋅dt)) dt = 0.
Проинтегрируем ∫v dt:
∫v dt = ∫(k/m)⋅(x(t)/(v + r/m⋅dt)) dt.
(v⋅t) - (k/m)⋅∫(x(t)/(v + r/m⋅dt)) dt = C,
где C - постоянная интегрирования.
Теперь давайте решим это уравнение относительно x(t).
1) Для нахождения производной функции f(x) = 7x - x^2 - cos(x) воспользуемся правилами дифференцирования.
- Для первого слагаемого 7x производная равна 7 (так как производная по x от x равна 1).
- Для второго слагаемого -x^2 производная равна -2x (используем правило степенной функции)
- Для третьего слагаемого -cos(x) производная равна sin(x) (используем правило дифференцирования тригонометрических функций)
Таким образом, производная функции f(x) равна f'(x) = 7 - 2x + sin(x).
2) Для нахождения производной функции f(x) = 8e^x * ln(x), снова воспользуемся правилами дифференцирования.
- Для первого слагаемого 8e^x производная равна 8e^x (правило дифференцирования экспоненты)
- Для второго слагаемого ln(x) производная равна 1/x (правило дифференцирования логарифма)
Таким образом, производная функции f(x) равна f'(x) = 8e^x * (1/x) = 8e^x/x.
3) Для нахождения производной функции f(x) = 5^x / (3x^6), воспользуемся правилами дифференцирования.
- Для числителя 5^x производная равна ln(5) * 5^x (правило дифференцирования степенной функции и экспоненты)
- Для знаменателя 3x^6 производная равна 3 * 6x^5 (правило дифференцирования степенной функции)
Таким образом, производная функции f(x) равна f'(x) = (ln(5) * 5^x) / (3 * 6x^5) = (ln(5) * 5^x) / (18x^5).
4) Для нахождения производной функции f(x) = 5√(7x - 9), воспользуемся правилами дифференцирования.
- Для основания 7x - 9 производная равна 7 (правило дифференцирования линейной функции)
- Для степени 1/2 производная равна (1/2) * (7x - 9)^(-1/2) (правило степенной функции)
Таким образом, производная функции f(x) равна f'(x) = 5 * (1/2) * (7x - 9)^(-1/2) * 7 = (35/2) * (7x - 9)^(-1/2).
5) Для нахождения производной функции f(x) = 6/x^12 - ∜(x^15) - 1, воспользуемся правилами дифференцирования.
- Для первого слагаемого 6/x^12 производная равна -72/x^13 (правило дифференцирования степенной функции)
- Для второго слагаемого ∜(x^15) производная равна (1/4) * (x^15)^(-3/4) * 15x^14 (правило степенной функции)
- Для третьего слагаемого -1 производная равна 0 (производная от константы)
Таким образом, производная функции f(x) равна f'(x) = -72/x^13 - (15/4) * x^14 * (x^15)^(-3/4).
