Question

Дополнительные занятия по посещает группа детей, в которой мальчиков на 12 больше чем девочек. пусть вероятность того, что хотя бы одна пара мальчик-девочка отмечает день рождения в один день, составляет p. при каком наименьшем числе детей в группе эта вероятность превысит 50 процентов? известно, что все дети родились в невисокосные года.

Answer 1

Пусть девочек n, а мальчиков m=n+12. Найдем вероятность того, что ни в одной паре мальчик-девочка нет одинаковых дней рождения. Рассмотрим множество всех 365 дней в году. Выберем произвольный набор из k дней в году и найдем количество которыми можно распределить дни рождения всех n девочек по дням этого набора (k=1,...,n). Кстати, количество таких наборов равно $\displaystyle C_{365}^k.$

Количество которыми можно разбить n-элементное множество на k непустых подмножеств выражается числом Стирлинга второго рода, которое обозначается S(n,k) (порядок следования получающихся подмножеств не учитывается). Легко понять, что S(n,n)=1, S(n,1)=1 и для n≥3 и 2≤k<n верна рекуррентная формула S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k). Действительно, зафиксируем n-1 элементов n-элементного множества. Тогда эти n-1 элементов можно разбить на k-1 подмножеств и добавить подмножество состоящее из одного n-го элемента. Это даст получить k подмножеств n-элементного множества. Кроме того, из каждого разбиения тех фиксированных n-1 элементов, на k подмножеств, добавляя к каждому подмножеству разбиения n-ый элемент, мы получаем еще k разбиений n-элементного множества.  Таким образом, числа Стирлинга второго рода можно вычислять по аналогии с треугольником Паскаля:
 n=1:  [1]
 n=2:  [1,1]
 n=3:  [1,3,1]
 n=4:  [1,7,6,1]
 n=5:  [1,15,25,10,1]
 n=6:  [1,31,90,65,15,1] 
 n=7:  [1,63,301,350,140,21,1] 
 n=8:  [1,127,966,1701,1050,266,28,1] 
 n=9:  [1,255,3025,7770,6951,2646,462,36,1]
n=10: [1,511,9330,34105,42525,22827,5880,750,45,1]
n=11: [1,1023,28501,145750,246730,179487,63987,11880,1155,55,1]

Итак, множество всех девочек можно распределить по k фиксированным дням Здесь появился k!, т.к. подмножества получаемых разбиений можно переставлять по k дням этого набора (напомню в S(n,k) получаемые подмножества не упорядочены). Для каждого такого распределения девочек по k фиксированным дням года, дни рождения m мальчиков распределяются по остальным дням года $(365-k)^m$ Т.к. количество наборов по k дней равно $\displaystyle C_{365}^k.$ и k меняется от 1 до n, то общее количество распределить n девочек и m мальчиков по дням года так, чтобы д.р. мальчиков не совпадали  с д.р. девочек равно $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nC_{365}^k\, k!\,S(n,k)(365-k)^m$ или, что то же самое, $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nA_{365}^k\,S(n,k)(365-k)^m.$ Т.к. количество всех распределить n+m детей по дням года равно $365^{n+m},$ то $p=1-365^{-n-m}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nA_{365}^k\,S(n,k)(365-k)^m.$
Вычисляем это при n=1,2,3,....,11 c учетом того, что m=12+n:
  p1 = 0,035036804... 
  p2 = 0,073939488... 
  p3 = 0,116134389... 
  p4 = 0,161019616... 
  p5 = 0,207979214... 
  p6 = 0,256397031... 
  p7 = 0,305669832... 
  p8 = 0,355219316... 
  p9 = 0,404502689...
p10 = 0,453021579...
p11 = 0,500329116...
Как видно, первый раз вероятность превысит 0,5 при  n=11 т.е. общее количество детей в этом случае равно 11+(11+12)=34.