кона Владимирской Богоматери издавна почиталась как покровительница и защитница Руси. Начиная с XII века наши предки свято верили в чудотворную силу иконы и взывали к заступничеству Богоматери в самые трудные моменты истории. По преданию, первая икона была написана евангелистом Лукой во время жизни Богородицы. В 450 г. она была перенесена из Иерусалима в Константинополь, а в XII веке оттуда прислана в дар киевскому князю Юрию Долгорукому. Его сын Андрей Боголюбский в 1160 г. перенес икону в северные земли и поместил в специально построенном для нее Успенском соборе г.Владимира.
найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения: 2y'''-7y''=0
Решение -------------------------------------------------------------------------------------------------- Линейным однородным дифференциальным уравнением высшего (3-го) порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y⁽³⁾ + a₁y⁽²⁾ + a₂y' + a₃ = 0 где коэффициенты a₁, a₂, a₃ – заданные действительные числа.
Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения 3 порядка с постоянными коэффициентами является линейная комбинация y(x) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + C₃y₃(x)
–линейно независимых на том же отрезке частных решений этого уравнения y₁(x), y₂(x), y₃(x)
Для их нахождения составляется и решается характеристическое уравнение k³ + a₁k² + a₂k + a₃ = 0 Получаемое заменой в исходном дифференциальном уравнении производных y⁽ⁿ⁾ искомой функции степенями kⁿ , причем сама функция заменяется единицей y⁽⁰⁾ =1. Характеристическое уравнение – это алгебраическое уравнение степени n.
Каждому из n корней характеристического уравнения соответствует одно из n линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, причем:
– каждому действительному простому корню b соответствует частное решение вида
eᵇˣ -каждому действительному корню k кратности a соответствуют частных решений вида eᵇˣ, xeᵇˣ, x²eᵇˣ, x³eᵇˣ, xᵃ⁻¹eᵇˣ --------------------------------------------------------------------------------------------------
Как видно, характеристическое уравнение имеет один корень второго порядка: k₁₂ = 0 и один простой корень k₃ = 3,5. Частные решение дифференциального уравнения определяются формулами
Поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид
