Question

Найдите разность между большим и меньшим корнями уравнения

Answer 1

Воспользуемся формулой: $a \sin x\pm b\cos x= \sqrt{a^2+b^2} \sin(x\pm\arcsin \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} })$

$\sqrt{( \sqrt{3})^2+1^2 } \sin (x-\arcsin \frac{1}{ \sqrt{( \sqrt{3} )^2+1^2} } )=-1\\ \\ 2 \sin (x-\arcsin(0.5))=-1\\ \\ \sin (x- \frac{\pi}{6} )=- \frac{1}{2} \\ \\ x- \frac{\pi}{6} =(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{6} +\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ x=(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{6} +\frac{\pi}{6}+\pi k,k \in \mathbb{Z}$

отбор корней:
$k=1;\,\,\, x= \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7 \pi }{6} \\ \\ k=2;\,\, x=- \frac{ \pi }{6} +2 \pi = \frac{11 \pi }{6}$

Вычислим разность между большим и меньшим корнями заданного уравнения:

$\dfrac{11 \pi }{6} - \dfrac{7 \pi }{6} = \dfrac{4 \pi }{6} = \dfrac{2 \pi }{3}$

ответ: $\dfrac{2 \pi }{3}$