(а)
Показателем числа a по модулю m (где a и m взаимно простые) называется наименьшее натуральное число n такое, что aⁿ - 1 делится на m (точнее aⁿ ≡ 1 (mod m)).
Докажем, что у взаимно простых чисел a и m существует показатель. Действительно, пусть его не существует. Тогда есть такие различные числа p и q, что a^p ≡ t (mod m) и a^q ≡ t (mod m). Пусть p < q, тогда a^q : a^p ≡ t : t ≡ 1 (mod m). Деление возможно из-за взаимной простоты a и m. Значит, a^(q-p) ≡ 1 (mod m) и показатель существует.
(б)
Заметим, что 100 ≡ 3 (mod 97), из этого:
100² ≡ 3 * 100¹ ≡ 3 * 3¹ ≡ 3² (mod 97)
100ⁿ ≡ 3 * 100^(n-1) ≡ 3 * 3^(n-1) ≡ 3ⁿ (mod 97)
Кроме того известно, что 3⁰ + 3¹ + ... + 3ⁿ = (3^(n+1) - 1)/2.
Докажем это при метода математической индукции:
База (n = 1):
3⁰ = (3¹ - 1)/2
Переход (от n к n+1):
Пусть мы доказали, что:
3⁰ + 3¹ + ... + 3^(n-1) = (3ⁿ - 1)/2
Докажем тогда, что:
3⁰ + 3¹ + ... + 3ⁿ = (3^(n+1) - 1)/2
По предположению индукции:
(3ⁿ - 1)/2 + 3ⁿ = (3^(n+1) - 1)/2
3ⁿ - 1 + 2 * 3ⁿ = 3^(n+1) - 1
3 * 3ⁿ - 1 = 3^(n+1) - 1
Переход доказан.
Наше число представимо в виде 100⁰ * 19 + 100¹ * 19 + ... + 100ⁿ * 19 ≡ 3⁰ * 19 + 3¹ * 19 + ... + 3ⁿ * 19 ≡ (3^(n+1) - 1)/2 * 19 (mod 97).
Так как 19 и 2 взаимно просты с 97, можно их убрать. Если число 3^(n+1)-1 не делилось на 97, то и при умножении на них делиться не будет.
А теперь заметим, что существует такое n, что 3^(n + 1) - 1 делится на 97 (по первой задаче).
ответ: существует.
бу сүз әйтер һәр кеше, кем туа монда? кайда без булган безнең ватаныбыз, безнең туган җир-иң яхшысы! бу әйтер һәркем патриот. моның белән дә килешергә генә космополит кеше өчен, аның ватаныбызның юк . чөнки бу безнең туган җир, монда туган без без еш кына турында уйлыйбыз елларда безнең балачак. без телибез кайтырга элек бу елларда балачак. без телибез кабат рәхмәт әйтергә әниемә моның өчен бик шәп вакыт, дип, ул безгә бүләк итте,. тик бу гына да түгел, без телибез дип әйтә. әлбәттә, без уйлыйбыз турында балачакта без уйлыйбыз турында, туган җир турында һәр метре, ул без үтте, ул күрдек. без хәтерлибез да, елгасы, урман, печәнлек, кыр, үлән, чәчәкләр, агачлар. ләкин барыннан да бигрәк без телибез әйтергә, рәхмәт безнең туган җирендә. ничек күрәсе килә, янә булырга бала кечкенә, . яраткан, бердәнбер , ничек әйтәсе килә элек балачак. рәхмәт, ул безне ярата һәм катнаша мондый, нинди, без бар, һәм әлбәттә. минем туган яраткан юля татарстан. зур рәхмәт сиңа барысы өчен дә син бирде миңа аңларга буларак, мин бик нык яратам сине!