Zadanie 4 (Задание 4)
Найдите количество деревьев на n вершинах, в которых степень каждой вершины не больше 2.
n=1 => дерево состоит из одной вершины степени 0.
n>=2 => 1] Вершины степени 0 быть не может (иначе граф несвязный). Значит степень вершин либо 1, либо 2. 2] существует простая цепь, являющаяся подграфом дерева.
Тогда будем достраивать дерево из цепи. Ребро - простая цепь.
Алгоритм:
Изначально есть ребро <u,v>. Степени концов цепи - вершин u и v - равны 1.
Если на данном шаге число вершин в графе равно n - получен один из искомых графов, больше его не изменяем.
Если же число вершин < n, добавляем ребро.
На 1ом шаге мы можем добавить либо ребро <u,a>, либо ребро <a,v>. Без нарушения общности, добавим <u,a>. У нас все еще простая цепь. При этом у концов a и v степень 1, а у всех остальных вершин, здесь это вершина u, - 2, и к ним ребра присоединить уже нельзя. Повторяя подобные операции, будем получать на каждом шаге простую цепь.
На n вершинах можно построить ровно одну простую цепь. А значит и число искомых деревьев равно 1 .
Zadanie 5 (Задание 5)
Покажите, что для графа G=[V,E] с k компонентами связности верно неравенство 
Введем обозначения 
Разобьем граф на компоненты связности. Для каждой компоненты, очевидно, верно неравенство 
. Просуммировав неравенства для каждой из k компонент, получим 
.
Оценка снизу получена.
Лемма: Граф имеет максимальное число ребер, если он имеет k-1 тривиальную компоненту связности и 1 компоненту, являющуюся полным графом. И действительно. Пусть 
– компоненты связности, 
. Тогда при "переносе" одной вершины из 
в 
число ребер увеличится на 
– а значит такая "конфигурация" неоптимальная, и несколькими преобразованиями сводится к указанной в лемме. А тогда максимальное число ребер в графе равно 
Оценка сверху получена.
Zadanie 6 (Задание 6)
Проверьте, являются ли следующие последовательности графическими, обоснуйте ответ
Решение в приложении к ответу
василь острозький був молодшим сином князя костянтина острозького (старший — ілля) від другого шлюбу з князівною олександрою семенівною слуцькою. походив з роду острозьких — найбагатшого і найвпливовішого князівського роду тодішніх білорусі та україни xvi — початку xvii століття. серед його предків генеалогічна традиція кінця xvi — початку xvii століття називає руса і давньоруських князів — рюрика, володимира святославича, ярослава мудрого та данила галицького.
після смерті батька в 1530 році виховувався матір'ю в турові. молодим дістав гарну освіту, про що свідчить його листування та промови в сенаті. після смерті в 1539 році старшого брата іллі вступив у багаторічну боротьбу за батьківську спадщину, що тривала аж до 1574 року.
з середини 1540-х років в офіційних документах василь острозький починає іменуватися батьковим ім'ям — костянтин. залишившись фактично єдиним спадкоємцем свого багатого батька, отримав у володіння величезні маєтності на волині, київщині, поділлі та галичині, які давали щорічно прибуток понад 1 мільйон злотих. костянтин василь острозький володів також значними земельними маєтками в угорщині та чехії.
у 18 років (1543—1544) розпочав військову службу під керівництвом маршалка волинської землі князя федора санґушка. політичну кар'єру почав 1550 року, отримавши від великого князя литовського посаду старости володимирського і маршалка волинського. найкращий захисник від татарських нападів після смерті батька[3].
в 1559 році к. в. острозький став воєводою київським, що значно сприяло посиленню його впливу на політичне життя україни. не прагнучи військової слави, проводив енергійну колонізаторську політику в порубіжних землях київщини та брацлавщини, засновуючи нові міста, замки та слободи. економічна потужність маєтностей княжого роду та його неабиякий політичний вплив швидко робить к. в. острозького «некоронованим королем русі»[4], що проводить відносно незалежну політику в руських землях. у 1560-х роках к. в. острозький виступав за рівноправне входження русі до складу державного утворення речі посполитої.
1569 року став сенатором. був фактичним провідником русі-україни під час люблінської унії 1569 року, підписав її[3].
1572 року згасла династія ягеллонів — к. в. острозький в 1573—1574 роках був одним з можливих кандидатів на польський престол, чию кандидатуру підтримувала і османська імперія (цьому завадило те, що вважався «вождем схизматиків»), згодом і на московський — після смерті останнього рюриковича царя федора i івановича, в 1598 через спорідненість з московськими рюриковичами.
в 1574 році переніс князівську резиденцію з дубна до острога, де розпочалася перебудова острозького замку під керівництвом італійського архітектора п'єтро сперендіо.
у вересні 1574 року мав суперечку з юрієм язловецьким[5].
1579 року замок і місто чернігів намагались здобути частини війська короля стефана баторія під командуванням князів к. в. острозького та михайла вишневецького. взяти не змогли, тому підпалили[6].
15 (18) жовтня 1592 року отримав свідоцтво сейму щодо попередження ним урядників речі посполитої про упадок та руйнування укріплень києва, білої церкви, зокрема, що замки в містах знаходяться «у вкрай незадовільному стані»[7].
1594 року зять христофор перун радзивілл подав позов на нього від імені дружини та свого старшого сина через різні погляди на спадок, який задовільнив земський суд у слонімі. перед її розглядом в коронному трибуналі 24 серпня 1594 року уклав з тестем угоду, за якою радзивілли отримували, зокрема, глуськ, тернопіль, права на копись[8].
у латинській катедрі тарнува коштом князя к. в. острозького було встановлено наприкінці xvi ст. виготовлений скульптором паллавіні надгробок батьку янові-аморові (верхній ярус) та сину янові криштофові (нижній) тарновським[9].
в 1 см на карте 1000000см в реальности
1000000см- это: 1) 10000дметров
2) 10000 метров
600:10000= 0.06 м= 6 мм