весь бассейн-1
1645=1/45 бассейна в минуту заполняет первая труба
1:18=1/18 бассейна в минуту заполняют две трубы вместе
1/18-1/45=(5-2)/90=3/90=1/30 бассейна в минуту заполняет вторая труба
1:1/30=1*30/1=за 30 минут вторая труба заполнит бассейн
расстояние между А и В-1
1:24=1/24 расстояния в минуту проезжают две машины вместе
1:40=1/40 расстояния в минуту проезжает первая машина
1/24-1/40=(5-3)/120=2/120=1/60 расстояния в минуту проезжает вторая машина
1:1/60=1*60/1=60 минут=за 1 час вторая машина проедет от В до А
Арифметическая прогрессия - это такая числовая последовательность, у которой каждый член прогрессии больше предыдущего на одно и то же число.
1(а)... 3(a(n)+d)... 5... 7...9... и т.д.
В этом ряду мы видим, что что 1 отличается от 3 на 2, далее 5 от 3 - тоже на два, 7 от 5 - тоже на два и так далее.
Так вот, в нашем примере цифра 2 - это разность арифметической прогрессии (в формулах обозначается d).
Смотрим на формулу прогрессии: a(n+1) = a(n) + d
Здесь a(n+1) - это буквально значит следующее число в прогрессии, a(n) - текущее число, d - разность прогрессии.
Смотрим на пример. Представим, что мы смотрим на тройку, а выразить хотим пятёрку: 5 = 3 +2
5(следующее число, то, что хотим выразить, a(n+1)) = 3(текущее число, на которое смотрим, a(n)) + 2(разность прогрессии, d).
Эта разность прогрессии d находится очень просто: d = a2 - a1, то есть второе число в прогрессии минус первое, или пятое число минус четверное число (по примеру = 9 - 7 = 2).
Теперь разберем сумму арифметической прогрессии. На самом деле, это очень просто.
Формула: Sn = (a1 + an) × n / 2
Sn - сумма арифметической прогрессии, иными словами сумма всех членов прогрессии начиная с самого первого a1 до самого последнего в прогрессии
a1 - первое число
an - последнее число
n - порядковый номер последнего числа.
На нашем примере: (1 3 5 7 9 11)
1 - первое число, 11 - последнее число, n = 6 (то есть всего чисел в нашем примере шесть. Семёрка, например, - четвёртый член этой прогрессии)
Считаем: S₆ = (1+11) × 6 / 2 = 12 × 6 / 2 = 72 / 2 = 36.
Проверка (складываем между собой все члены прогрессии) = 1 + 3 + 5 + 7 +9 +11 = 36
Смысл выражать формулой состоит в том, что в прогрессии может быть стопятьсот членов.
В задачах эта формула суммы арифметической прогрессии попадается постоянно, надо просто понять все элементы формулы и правильно читать условие.
Важная формула для решения задач - формула энного члена прогрессии.
an = а1 + (n -1) × d, где
а1 - первый член прогрессии
n - номер члена
d - разность прогрессии
Попробуем для нашей прогрессии (1 3 5...) найти 88 член.
an = 1 + (88-1) × 2 = 1 + 87 × 2 = 1+174 = 175.
Иными словами, 88-м членом нашей прогрессии будет число 175!
Если в задаче надо, например, найти сумму первых 15 членов прогрессии, то вместо an в формулу подставляешь а₁₅, а вместо n - 15.