1) f(x)=2x³+9x²-24x+1 [-2;-1]
f'(x)=(2x³+9x²+24x+1)'=6x²+18x-24=0
6x²+18x-24=0 |÷6
x²+3x-4=0 D=25
x₁=-4 ∉ [-2;-1]
x₂=1 ∉ [-2;-1] ⇒
f(-2)=2*(-2)³+9*(-2)²-24*(-2)+1=-16+36+48+1=69 - max.
f(-1)=2*(-1)³+9*(-1)²-24*(-1)+1=-2+9+24+1=32 - min.
2)
a+b=12
a³*2*b - max a=? b=?
b=12-a ⇒
(a³*2*(12-a))'=0
(a³*(24-2a))'=0
3a²*(24-2a)+a³*(-2)=0
a²(3*24-6a-2a)=0
a₁²=0
a₁=0 0+b=12 b₁=12
72-8a=0
8a=72 |÷8
a₂=9 9+b=12 b₂=3 ⇒
a₁=0 b₁=12
0³*2*12=0
a₂=9 b₂=3
9³*2*3=729*6=4374 - max.
ответ: a=9 b=3.
3) f(x)=x/3+√x x₀=1
yk=y₀+y'(x₀)*(x-x₀)
y₀=(1/3)+√1=1¹/₃=4/3.
y'=(1/3)+1/(2*√x)
y'(1)=(1/3)+1/(2*√1)=(1/3)+(1/2)=5/6. ⇒
yk=(4/3)+(5/6)*(x-1)=(8+5*(x-1))/6=(8+5x-5)/6=(5x+3)/6=(1/2)+5x/6.
ответ: yk=(1/2)+5x/6.
Пошаговое объяснение:
Для нахождения экстремумов функции найдём её производную и приравняем её нулю.
у'=х²+х-2
х²+х-2=0 => (х+2)(х-1)=0 => х1=-2; х2=1
у(х1)=у(-2)=-8/3+2+4-5=-5/3
у(х2)=у(1)=1/3+1/2-2-5=-37/6
Точки экстремумов найдены:
(-2;-5/3), (1;-37/6)
Чтобы определить какая из них местный максимум или минимум проверим интервалы (-бесконечность; - 2); (-2; 1) и (1; +бесконечность) на возрастание и убывание функции. Выберем точки х=-3; х=0 и х=2. Подставим их в уравнение производной:
у'(-3)=9-3-2=4>0, значит в интервале (-бесконечность; - 2) функция возрастает
у' (0) =0+0-2< 0 - в интервале (-2; 1) функция убывает
у'(2)=4+2-2>0 - в интервале (1; +бесконечность) функция возрастает.
Таким образом, точка (-2; - 5/3) - местный максимум, а точка (1; - 37/6) - местный минимум функции.
