Question

Опять 50 для самых умных! найти все значения a, при которых корни уравнения (a-1)x2+2(a-2)x+a+1=0 положительны.

Answer 1

Найти все значения a, при которых корни уравнения положительны

$\displaystyle (a-1)x^2+2(a-2)x+a+1=0$

1) а=1

$\displaystyle (1-1)x^2+2(1-2)x+1+1=0 -2x+2=0 x=1$

2) a≠1

найдем дискриминант

$\displaystyle D=4(a-2)^2-4(a-1)(a+1)=20-16a$

чтобы были решения нужно чтобы D≥0

$\displaystyle 20-16a \geq 0 a \leq 1.25$

теперь найдем корни уравнения

первый корень

$\displaystyle x_1 =\frac{-2(a-20+ \sqrt{20-16a}}{2(a-1)}\ \textgreater \ 0$

при этом а≠1

решим неравенство

$\displaystyle \frac{4-2a+\sqrt{20-16a}}{2(a-1)}\ \textgreater \ 0$

найдем нули числителя

$\displaystyle 4-2a+ \sqrt{20-16a}=0$

где a≤1.25 

$\displaystyle \sqrt{20-16a}=2a-4$

2a-4≥0
a≥2

Значит числитель нулю при а≤1,25 не равен

расставим знаки

_____-__________+_______
                 1                         1,25

Значит а∈(1;1.25]

второй корень

$\displaystyle x_2= \frac{-2(a-2)- \sqrt{20-16a}}{2(a-1)}\ \textgreater \ 0$

при а≠1 решим это неравенство

найдем нули числителя
$\displaystyle 4-2a- \sqrt{20-16a}=0 4-2a= \sqrt{20-16a}$

где 4-2а≥0; a≤2

$\displaystyle (4-2a)^2=20-16a 16-16a+4a^2=20-16a a^2=1 a_1=1; a_2=-1$

расставим знаки

___-______+_____+_____
            -1         1               1,25

при a∈[-1;1)∪(1;1.25]

теперь найдем пересечение решений

a=1. a∈(1;1.25] a∈[-1;1)∪(1;1.25]

ответ a∈[1;1.25]

Answer 2

Рассмотрим сначала случай a=1:
-2x+2=0; x=1>0.

 Пусть a≠1, тогда имеем квадратное уравнение.
Найдем его дискриминант:

D=4((a-2)^2-(a-1)(a+1))=4(-4a+5)

Если D<0, то есть a>5/4, то корней нет

Если D=0, то есть a=5/4, то корень один (или, как правильнее говорить, их два, но они совпали. Еще говорят: кратный корень):

x= - (a-2)/(a-1)=3>0

Если D>0 (то есть a<5/4), корней два. 

Один из возможных методов рассуждения основан на теореме Виета и на следующем простом соображении:

Два числа положительны тогда и только тогда, когда их произведение и сумма положительны.

Отсюда получаем систему (a+1)/(a-1)>0; (2-a)/(a-1)>0,
решив которую методом интервалов, получаем условие

a∈(1;2).

Но a<5/4⇒ a∈(1;5/4).

Вспоминая полученные ранее значения a, получаем

ответ: [1;5/4]

Замечание для тех, кто входит в категорию 16+ )))

ответ в задаче зависит от того, как интерпретировать условие. 
Что значит "корнИ"? То есть корней должно быть больше одного? 
А если корень кратный, он один или их два?

По хорошему, чтобы не было разночтений, в условии должно быть написано: ХОТЯ БЫ ОДНО РЕШЕНИЕ. И именно решение, а не корень, чтобы решающий не мучился вопросом - кратный корень - это корень или корни. Возможна и такая формулировка: хотя бы одно значение x, удовлетворяющее уравнению.