Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 20o. Докажите, что боковая сторона больше удвоенного основания, но меньше утроенного.
Решение На боковой стороне AC данного равнобедренного треугольника ABC отложим отрезок CD, равный основанию BC. ТогдаABD = 80o - 50o = 30o,значит, в треугольнике ABD угол ABD больше угла BAD, поэтому AD > BD > BC (в равнобедренном треугольнике BDC основание BD лежит против большего угла C). Следовательно,AC = AD + CD > BC + CD = 2BC.Пусть точка B1 симметрична точке B относительно прямой AC, а точка B2 симметрична B1 относительно AB1. ТогдаBAB1 = 3BAC = 60o, AB2 = AB,поэтому треугольник BAB2 — равносторонний. Следовательно,AB = BB2 < BC + CB1 + B1B2 = 3BC.
Центральный угол, опирающийся на дугу 90°, равен 90°. Следовательно, треугольник АОВ прямоугольный. Высота из прямого угла к гипотенузе равна половине этой гипотенузы. Значит МО=5см. Расстояние между двумя параллельными прямыми - это перпендикуляр, опущенный из любой точки одной прямой на другую. Продолжим высоту (перпендикуляр) МО до пересечения с хордой СD в точке N. ОN - высота прямоугольного прямоугольника COD, равного треугольнику АОВ (по двум катетам - радиусам). Значит OM=ON=5см, а MN=10см. Отвкт: расстояние между хордами равно 10см.
