Question

Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. х't = 3x + 2y, y't = x + 2y.

Answer 1

Действуем так:
из 2 уравнения выражаем х, находим x' и подставляем х и х' в 1 уравнение

$x=y'-2y$.
$x'=y''-2y'$

$y''-2y'=3(y'-2y)+2y$
$y''-2y'=3y'-6y+2y$
$y''-5y'+4y=0$\

Получилось однородное уравнение 2 порядка, решаем его через характеристическое уравнение

$k^2-5k+4=0$
$(k-1)(k-4)=0$
$k_1=1;k_2=4$

Так как корни различны, то запишем общее решение этого уравнения так:

$y=C_1e^{x}+C_2e^{4x}$

Помним, что $x=y'-2y$, поэтому найдем y'  и подставим у и у' в это уравнение

$y'=C_1e^{x}+4C_2e^{4x}$

$x=C_1e^{x}+4C_2e^{4x}-2(C_1e^{x}+C_2e^{4x})=-C_1e^{x}+2C_2e^{4x}$

ответ: $\left \{ {{x=-C_1e^{x}+2C_2e^{4x}} \atop {y=C_1e^{x}+C_2e^{4x}}} \right.$