Question

Решить пример при замены переменной в неопределенном интеграле\! ∫

Answer 1

Выполним следующую подстановку:
$2 x^{2} +1 = t^{2}$

Дальше возьмём дифференциалы от обеих частей данного равенства:
$d(2 x^{2} +1) = d (t^{2})$
$4xdx = 2tdt \\ xdx = \frac{tdt}{2} \\ x^{2} = \frac{ t^{2}-1 }{2}$

Теперь подставим выражения для xdx и x^2 в исходный интеграл:
∫$\frac{ \sqrt{ t^{2} } tdt}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ∫$t^{2} dt =$ =$\frac{1}{2} * \frac{1}{3} t^{3} = \frac{ t^{3} }{6}$
Осталось только подставить вместо t его выражение через икс:
$t = \sqrt{2 x^{2} +1}$
Результат окончательный:
$\frac{ ( \sqrt{2 x^{2} +1} )^{3} }{6} + C$