Даны три вершины: А(3; -3), В(-4; 3), С(1; 6).
1) Уравнение АD.
Так как прямая АД параллельна ВС, то её направляющий вектор сохраняется, как и у прямой ВС.
Вектор ВС: (1 - (-4); 6-3) = (5; 3).
Уравнение ВС: (x + 4)/5 = (y - 3)/3.
В общем виде: 3x - 5y + 27 = 0.
Подставив известные координаты точки А, получим уравнение АD.
Уравнение AD: (x - 3)/5 = (y + 3)/3.
В общем виде: 3x - 5y - 24 = 0.
2) Уравнение высоты ВК на сторону AD.
Прямая ВК перпендикулярна и АД и ВС.
У прямой, перпендикулярной к прямой ВС 3x - 5y + 27 = 0 в виде Ах + Ву + С = 0, коэффициенты А и В меняются на -В и А.
Уравнение ВК: 5х + 3у + С = 0.
Для определения слагаемого С подставим координаты известной точки В(-4; 3): 5*(-4) + 3*3 + С = 0, -20 + 9 + С = 0, С = 11.
Уравнение ВК: 5х + 3у + 11 = 0.
3) Длина высоты ВК.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C| /√(A² + B²).
Подставим в формулу данные:
d = |3·(-4) + (-5)·3 + (-24)|/ √(3² + (-5)²) = |-12 - 15 - 24|/ √(9 + 25) =
= 51/ √34 = 3√34/ 2 ≈ 8.7464278.
4) Уравнение диагонали BD.
Так как эта диагональ проходит через точку О (это точка пересечения диагоналей и середина АС), то уравнение можно составить по двум точкам: В и О.
Находим координаты точки О = АС/2 = (А(3; -3) + С(1; 6))/2 = (2; 1,5).
Вектор ВО = (2-(-4); 1,5-3)= (6; -1,5).
Уравнение ВО = ВД: (х + 4)/6 = (у - 3)/(-1,5) или в целых числах
(х + 4)/(-4) = (у - 3)/1. В общем виде х + 4у - 8 = 0.
5) Находим угловые коэффициенты прямых ВО и АО.
к(ВО) = -1,5/6 = -1/4 = -0,25.
к(АО) = (1,5-(-3))/(2-3) = 4,5/(-1) = -4,5.
угол между ними можно найти, используя формулу:
tg γ = k1 - k2
1 + k1·k2.
Подставим данные: у:
tg γ = -0,25 - (-4,5) = 2.
1 + (-0,25)*(-4,5)
Даны две прямые:
L1: (x+2)/-2=y-1/3=z-3/2 ,
L2: { 3x+4y+5z-26=0 ,
{3x-3y-2z-5=0.
Найдем направляющий вектор второй прямой L2. заданной системой двух уравнений:
{3x+4y+5z-26=0
{3x-3y-2z-5=0.
Находим направляющий вектор прямой L2 , для этого находим векторное произведение нормальных векторов двух плоскостей, задающих эту прямую.
Первый имеет координаты (3; 4; 5), второй (3; -3;–2).
Их векторное произведение равно:
i j k| i j
3 4 5| 3 4
3 -3 -2| 3 -3 = -8i + 15j - 9k + 6j + 15i - 12k =
= 7i + 21j – 21k.
Направляющий вектор прямой L2 это (7; 21; -21). или можно взять коллинеарный ему вектор (1; 3; -3), т.е. q2{1; 3; -3}.
Направляющий вектор прямой L1, заданной каноническим уравнением, равен q1{-2; 3; 2}, т. М1(-2; 1;-3) -точка лежащая на прямой L1 (это видно по условию задачи).
Вектор MM1{x+2; y-1; z-3} - проходящий через т.М1 на прямой и принадлежащий плоскости.
Векторы MM1, q1, q2 - компланарны, это значит что их смешанное произведение равно нулю.
x+2 y-1 z-3| x+2 y-1
-2 3 2| -2 3
1 3 -3| 1 3 = (x + 2)*(-9) + (y – 1)*3 + (z – 3)*(-6) – (y – 1)*6 – (x + 2)*6 – (z – 3)*3 = -15x - 4y - 9z + 1 = 0
Определитель системы находим по треугольной схеме и, приведя подобные, приходим к уравнению плоскости (умножив на -1):
15x + 4y+ 9z - 1=0.
2) 5852096196*21=122894020116
3) 122894020116/7=17556288588
4) 17556288588+12561=17556301149