1) Все углы равностороннего треугольника равны по 60º.
2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:
AF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;
BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;
CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.
Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой:
AK=BF=CD.
Если a — сторона треугольника, то
3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).
4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин:
AO:OK=BO:OF=CO:OD=2:1.
5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан
до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности:
6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности:
7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.
8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:
R=2r.
Поэтому K лежит на отрезке MH.
1.
Рассмотри ∠ACH и ∠ABC:
CA⊥BA и CH⊥BH по условию;
∠ACH = ∠ABC, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.Поэтому CM = BM, тогда ΔBMC - равнобедренный.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.Поэтому ∠MBC = ∠MCB, откуда ∠ACH = ∠MCB (т.к. ∠ACH = ∠MBC).
∠ACK = ∠BCK, как углы при биссектрисе;
∠ACH = ∠MCB;
Тогда ∠ACK - ∠ACH = ∠BCK - ∠MCB;
∠HCK = ∠MCK.
Биссектриса треугольника делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.2.
Рассмотрим ΔMCH:
CK - биссектриса MCH, поскольку ∠HCK = ∠MCK;
Тогда справедливо равенство 
;
Пусть CM = 5x, тогда CH = 3x;
HM = HK+KM = 3+5 = 8;
ΔMCH - прямоугольный (CH⊥MH ⇒ ∠CHM = 90°);
Тогда по теореме Пифагора получим:
CH²+HM² = CM²;
(3x)²+8² = (5x)²;
9x²+64 = 25x²;
64 = 16x²;
x² = 64:16 = 2²;
x = 2.
CM = 5x = 5·2 = 10;
CH = 3x = 3·2 = 6.
3.
CM = BM = MA;
MA = 10;
AB = 2·MA = 2·10 = 20;
AH = MA-HM = 10-8 = 2.
4.
Рассмотрим ΔCHA:
∠CHA = 90°; AH = 2; CH = 6;
По теореме Пифагора найдём AC:
AC² = CH²+AH² = 6²+2² = 36+4 = 2²·10;
AC = 2√10.
5.
Рассмотрим ΔABC:
∠ACB = 90°; AC = 10√2; AB = 20;
По теореме Пифагора надём BC:
BC² = AB²-AC² = 20²-40 = 400-40 = 6²·10;
BC = 6√10.
6.
Рассмотрим ΔCHK:
∠CHK = 90°; CH = 6; HK = 3;
По теореме Пифагора найдём CK:
CK² = CH²+HK² = 6²+3² = 36+9 = 3²·5;
CK = 3√5.
ответ: AB = 20; BC = 6√10; AC = 2√10; CK = 3√5.
у²+4х=13
у=2+х
тогда
(2+х)²+4х=13
4+4х+х²+4х=13
х²+8х+4-13=0
х²+8х-9=0
Д=64-4*(-9)*1=64+36=100=10²
х1=-8-10\2=-18\2=-9
х2=-8+10\2=2\2=1
тогда
а)х1=-9
у=2+х
у=2+(-9)=2-9=-7
б)х2=1
у=2+х
у=2+1=3
ответ(-9,-7) и (1,3)